Теория пределов и непрерывность

РЕФЕРАТ

по дисциплине ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

по теме

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

2019[pic 1]

СОДЕРЖАНИЕ

1.         Предел числовой последовательности                                                              3

2.         Предел функции                                                                                                  4

3.         Бесконечно малые величины                                                                             5  

4.         Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела.             7

5.         Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов.    8

6. Непрерывность функции                                                                                  12

7. Заключение                                                                                                         14

8. Список использованной литературы                                                               15

1. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

   Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число an, то говорят, что задана числовая последовательность {an}:

   a1, a2,…,an… .

   Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента an = f(n).

   Числа a1, a2,…,an называются членами последовательности, а число an – общим или n-м членом данной последовательности.

   Примеры: 2, 4, 6, …2n, … (монотонная неограниченная); 1, 0, 1, 0, … (немонотонная ограниченная).

   Число А называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется такой номер N(ε), зависящий от ε, что для всех членов данной последовательности с номерами n > N(ε) верно неравенство

                                             |an - A| < ε  (1)

   Предел числовой последовательности обозначается lim an = A или an → ∞ при n → ∞. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

   Используются следующие логические символы (кванторы): ∀ (любой), ∃ (существует), ⇔ (равносильность или эквивалентность). Тогда определение предела можно записать в виде:

   (A = [pic 2] an) ⇔ (∀ε > 0 ∃ N(ε) : ∀n > N(ε) | an – A | < ε)

   Смысл определения: для достаточно больших n члены последовательности {an} сколь угодно мало отличаются от числа А, по абсолютной величине меньше, чем на ε, каким бы малым оно ни было.

2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

   Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого ε > 0 найдется такое S > 0, что для всех |х| > S верно неравенство

                                                  | f(x) – A | < ε                                                                  (2)

   Предел функции обозначается [pic 3]f(x) = A, или f(x) → A при х → ∞.

   (A = [pic 4] f(x) ⇔ (∀ε > 0 ∃ S = S(ε) > 0 : ∀x : | x | > S | f(x) – A | < ε)