Теория множеств

Лекция 1-3

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

1. Множества и операции над ними

1.1.1. Понятие множества

Теория множеств опирается на три первичных понятия:

          1) множество;

          2) элемент;

          3) принадлежность.

Строгого определения этим понятиям не дается, описывается только их применение.

На рисунке 1.1 буквой А обозначено множество, элементами которого являются точки заштрихованной части плоскости, при этом точка а принадлежит множеству А ([pic 1]), точка с не принадлежит множеству А     ([pic 2]).[pic 3]

1.1.2. Способы задания множеств

Множество можно задать, перечислив  все  его  элементы: [pic 4], [pic 5].  Порядок записи элементов множества произволен. Часто задают множество, указав его характеристическое свойство, которое для каждого элемента позволяет выяснить, принадлежит он множеству или нет.

Например,

                     [pic 6] – целый корень уравнения [pic 7],

                     [pic 8]– целое}.

В дальнейшем для известных числовых множеств будут использоваться обозначения:

Ν = {1,2, 3…} – множество натуральных чисел;

Z = {…, -2, -1,0,1, 2…} – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

1.1.3. Основные определения

Пустым множеством называется множество ∅, не содержащее ни одного элемента, т.е. для любого элемента x выполняется [pic 9] ∅.

Универсальным называется множество U всех элементов, рассматриваемых в данной задаче.

Пример. Пусть U = Z и требуется найти все решения уравнения [pic 10]. Множество М решений этой задачи есть пустое множество: М = ∅.

Пусть теперь U = R. Тогда множество М решений уравнения [pic 11] не пусто: М = [pic 12].

Будем говорить, что множество А включается во множество В [pic 13], если каждый элемент множества  А является элементом множества В ( говорят также, что А является подмножеством множества В). Из определения включения следуют свойства:

1. [pic 14] для любого множества А;
2. Если [pic 15] и [pic 16], то [pic 17];
3. ∅ [pic 18] для любого множества А;
4. [pic 19]U для любого множества А.

Определим понятие равенства множеств: А=В тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два включения  [pic 20] и [pic 21], т.е. каждый элемент множества А является элементом множества В и каждый элемент множества В является элементом множества А.

1.1.4.  Диаграммы Эйлера – Венна

Эти диаграммы применяются для наглядного изображения множеств и их взаимного расположения.

[pic 22]

Универсальное множество U изображается в виде прямоугольника, а произвольные множества – подмножества универсального – в виде кругов (рис. 1.2).

1.1.5. Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество [pic 23], состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (рис. 1.3, а).