Теория множеств

Теория множеств

1. Множества. Элементы множества.
2. Отношения между множествами.

1. Включение.
2. Равенство.

1. Числовые множества.
2. Множество всех подмножеств данного множества.
3. Операции над множествами.

5.1. Объединение множеств.

5.2. Пересечение множеств.

5.3. Разность множеств.

5.4. Симметрическая разность.

Множества. Элементы множества

Одним из фундаментальных понятий математики является понятие множества. Оно обычно принимается за первоначальное и поэтому не определяется через другие. Создатель теории множеств Георг Кантор определил множество как «многое, мыслимое нами как единое целое». Иногда даётся следующее определение множества.

Множеством называют совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, Х и т.д., а их элементы малыми а, b, c и т.д. Если элемент  а  принадлежит множеству М, то пишут    а [pic 1]М.

Пустым называется множество, которое не содержит элементов, его обозначают символом   ∅.

Например, мы говорим о множестве решений уравнения до того, как узнаём, сколько оно имеет решений. Когда уравнение не имеет решений мы говорим, что множество решений уравнения х2+1=0 – пустое.

Отношения между множествами

2.1. Включение

Если все элементы множества В принадлежат множеству А, то говорят, что множество В является подмножеством множества А. Записывается это следующим образом:   В ⊏ А

Наглядно это отношение между множествами изображается ограниченными замкнутыми кривыми. Такое изображение называется диаграммой Венна (кругами Эйлера) 1.

[pic 2]

Например, множество прямоугольников включается в множество параллелограммов (всякий прямоугольник – параллелограмм).

Из определения подмножества следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. справедливо утверждение А ⊂ А. Если в множестве В найдется хотя бы один элемент,  не принадлежащий множеству  А,  то В не является подмножеством  множества А.  В ⊄ А

Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества. Это вполне естественно, т.к. пустое множество не содержит ни одного элемента и, следовательно, в нём нет элемента, который не принадлежал бы любому другому множеству.

2.2. Равенство

Два множества называются равными, если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В и каждый элемент множества В является элементом множества А. Записывается это следующим образом: А=В

Например, А = {1, 2}; В = {2,1}    А = В

Числовые множества

В математике чаще всего приходится иметь дело со множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Различают конечные и бесконечные множества. Например,  множество всех двузначных чисел - конечное, а множество отрицательных чисел -  бесконечное.

Для числовых множеств удобно ввести специальные обозначения. Мы будем пользоваться следующими:

Натуральные числа – это числа, возникающие в результате счёта предметов. N = {1, 2, 3, …..}.

Целые числа – это натуральные числа, им противоположные и ноль. Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Таким образом N ⊂ Z.

Рациональные числа – это числа вида a/b. Всякое рациональное число может быть представлено либо в виде конечной, либо в виде бесконечной десятичной дроби. Любое целое число является рациональным, т.к. его можно представить в виде a/1 = a. Таким образом N ⊂ Z ⊂ Q.