Теория множеств и пределов
Автор: siwww • Май 26, 2021 • Контрольная работа • 960 Слов (4 Страниц) • 306 Просмотры
Теория множеств и пределов
Дифференцировать
- [pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
- [pic 4] [pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8][pic 9]
- [pic 10] [pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
- [pic 16]
Решение. Преобразуем выражение:
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
5)[pic 20]
Решение. Дифференцируя по [pic 21] обе части уравнения, получаем
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
6) [pic 28] [pic 29]
Решение. Выразим из первого уравнения [pic 30] и подставим во второе выражение:
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
7) [pic 34]
Решение. Преобразуем выражение
[pic 35]
Воспользуемся разложением [pic 36] в ряд, пологая [pic 37] Имеем
[pic 38]
[pic 39]
Четвертый член меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак,
[pic 40]
8) Написать уравнение касательной и нормали.
[pic 41]
Уравнение касательной имеет вид:
[pic 42],
а уравнение нормали выглядит так:
[pic 43]
Найдем производную функции [pic 44]в точке [pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
Найдем значение функции [pic 48]в точке [pic 49]
[pic 50]
Подставляем полученные значения в уравнение касательной.
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]уравнение касательной.
Подставляем полученные значения в уравнение нормали.
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56] уравнение нормали.
1) Найти неопределенные интегралы
а) [pic 57]
Решение. Преобразуем выражение:
[pic 58]
Найдем интегралы по отдельности:
[pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
Тогда
[pic 63]
б) [pic 64]
Решение. С помощью подстановки [pic 65] где [pic 66] поэтому [pic 67] интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции:
[pic 68]
Найдем полученные интегралы по отдельности.
[pic 69][pic 70]
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби с помощью формулы: [pic 71] Имеем:
[pic 72]
Освобождаемся от знаменателя:
[pic 73]
Действительным корнем знаменателя является число -1.
При [pic 74] имеем [pic 75]
Перепишем предыдущее равенство в виде
[pic 76]
Сравнивая коэффициенты при t, получаем систему уравнений
[pic 77] Итак,
[pic 78]
Следовательно,
[pic 79]
Найдем полученные интегралы по отдельности.
[pic 80]
[pic 81]
Найдем полученные интегралы по отдельности.
[pic 82][pic 83]
[pic 84]
[pic 85]
В итоге получим:
[pic 86]
[pic 87]
После преобразования
[pic 88]
[pic 89]
в) [pic 90] Решение. Положим [pic 91] тогда [pic 92] и заданный интеграл принимает вид
[pic 93][pic 94][pic 95]
Для нахождения интеграла [pic 96] мы воспользовались формулой [pic 97] так как при ее помощи легче перейти к прежней переменной [pic 98]
Таким образом, получаем
[pic 99]
где [pic 100]
Следовательно,
[pic 101]
[pic 102]
г) [pic 103] Решение. Разложим знаменатель на множители:
[pic 104] Пусть [pic 105] тогда
[pic 106]
[pic 107]
[pic 108]
[pic 109]
[pic 110]
Воспользуемся формулой:
[pic 111]
Освобождаясь от знаменателей, получим
[pic 112]
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях [pic 113]
...