Essays.club - Получите бесплатные рефераты, курсовые работы и научные статьи
Поиск

Свойства определителей

Автор:   •  Сентябрь 30, 2020  •  Лекция  •  790 Слов (4 Страниц)  •  324 Просмотры

Страница 1 из 4

Лекция №4

Тема: Свойства определителей

  1. Миноры и алгебраические дополнения

        На практике при вычислении определителей порядка выше третьего используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия.[pic 1]

        Пусть дана квадратная матрица третьего порядка      . Вычеркнем в ней первую строку и второй столбец, тогда оставшиеся после вычеркивания   элементы образуют матрицу второго порядка    ,/ т.е. матрицу порядок которой на единицу меньше порядка данной матрицы.  На пересечении вычеркнутых строки и столбца стоит элемент . Число, равное определителю матрицы   , называется минором элемента . В матрице 32 = 9 элементов и каждый из них имеет свой минор. Дадим теперь общее определение минора.[pic 7][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

             Определение 1. Минором   элемента   матрицы -го порядка называется число, равное определителю матрицы -го порядка, образованной элементами данной матрицы, оставшимися в ней  после вычеркивания строки с номером  и столбца с номером j.[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

               В матрице третьего порядка минором элемента   будет число [pic 13]

                                         .[pic 14]

                Каждая матрица -го порядка  имеет  миноров -го порядка.[pic 15][pic 16][pic 17]

               Определение 2. Алгебраическим дополнением (адъюнктом)  элемента   матрицы -го порядка  называется его минор, взятый со знаком :[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

                                                                                            , [pic 22]

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и

столбца - четное  число, и противоположны по знаку, когда -нечетное число.[pic 23][pic 24]

ПРИМЕР.  Найти   и   элементов матрицы   .[pic 25][pic 26][pic 27]

РЕШЕНИЕ.  Элемент    и находится на пересечении третьей строки и второго столбца, значит     [pic 28]

                                                 .[pic 29]

            Для элемента   , находящегося на пересечении второй строки и третьего столбца, получим:[pic 30]

, тогда    .[pic 31][pic 32]

      Миноры и алгебраические дополнения играют важную роль в алгебре и ее приложениях. Одним из таких применений является основополагающая теорема о способе вычисления определителей.

                  Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы есть число, равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

...

Скачать:   txt (5.7 Kb)   pdf (107.9 Kb)   docx (555.4 Kb)  
Продолжить читать еще 3 страниц(ы) »
Доступно только на Essays.club