Решение математических задач применяемых в электроэнергетике

СОДЕРЖАНИЕ

ЗАДАНИЕ 1……………………………………………………...

1

ЗАДАНИЕ 2……………………………………………………...

2

ЗАДАНИЕ 3……………………………………………………...

6

ЗАДАНИЕ 4……………………………………………………...

8

ЗАДАНИЕ 5……………………………………………………...

10

28.17.22.00.00.ПЗ

Лист

№ докум.

Лит.

Масса

Масштаб

Изм

Подп.

Дата

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ

 У

Разраб.

Коновалов

Пров.

Лист 4

Листов

Коновалов

АнГТУ

Н.конт

Задача 1: Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

[pic 1]

Решение.

Преобразуем систему уравнений к эквивалентному виду, используя прямой ход методом Гаусса, исключив Х из второго и третьего уравнения и третьего уравнения.

Исходную систему можно представить как:

A11 *x +A12 *y+ A13*z=b1        

                                                              A21 *x +A22 *y+ A23*z=b2

                                                         A31 *x +A32 *y+ A33*z=b3

Где коэффициенты равны:

A11 =(-1); A12=1; A13=(-2); b1=2        

                                                         A21 = 2; A22 =(-3); A23=2; b2=-5

                                                    A31 =(-1); A32 =2; A33 =3;b3=3

1. Чтобы элемент A21 =2 сделать нулевым прибавим к 2-ой строке 1-ю строку, умноженную на 2

 ~ [pic 4][pic 5][pic 2][pic 3]

1. Чтобы элемент A31= -1 сделать нулевым, вычтем из 3-ей строки 1-ю строку

  ~ [pic 8][pic 9][pic 6][pic 7]

1. Чтобы элемент  A32=1 сделать нулевым, прибавим к 3-ей строке 2-ю строку

      ~ [pic 12][pic 13][pic 10][pic 11]

Запишем систему, соответствующую этой матрице:

[pic 14]

1. [pic 15]
2. [pic 16]
3. [pic 17]

Ответ: x=1;y=1;z=0

28.17.22.00.00.ПЗ

Лист

1

Задача 2.1: Дано нелинейное алгебраическое уравнение

[pic 18]

  Необходимо методом биссекции с точностью 0,01 найти корень уравнения, локализованный на отрезке [-3;1].

Решение.

   Находим значение функции на концах отрезка:[pic 19][pic 20]

[pic 21]

   Таким образом, функция на концах отрезка принимает значение одинаковых знаков, следовательно, она имеет на этом отрезке один корень.

   В соответствие с алгоритмом метода биссекции принимаем:

A0=a=1, b0=b=-3

   Далее определяем  

[pic 22]

[pic 23]

, поэтому [pic 24][pic 25]

  Получили: A1=-1;B1=-3.

  Вновь определяем функции: [pic 26][pic 27]

[pic 28]

, поэтому [pic 29][pic 30]

Получили: A2=-2;B2=-3. Итерации ведем до тех пор, пока не будет выполнено условие                                           | bk – ak|<2E.

  Это выполняется до девятого разбиения отрезка, когда получаем:

 A9=-2,98438;B9=-3

 (b9– a9)=(-2,99219-3)=-0,01563<0.02

[pic 31]

Ответ: [pic 32]

28.17.22.00.00.ПЗ

Лист

2

Задача 2.2: Дано нелинейное алгебраическое уравнение

[pic 33]

Необходимо методом Ньютона с точностью 0,001 найти корень уравнения, локализованный на отрезке [-3.1].

Решение.

Определяем небаланс  из  условия . Эта  функция равна левой части уравнения [pic 34][pic 35]

[pic 36]

Находим производную функцию [pic 37]

[pic 38]

Таким образом, для заданного уравнения итерационная формула метода Ньютона имеет вид

 [pic 39]

Критерий окончания расчета имеет вид |xk+1 –x|≤ E

Где Е по условию задачи равно 0,001.

1. В качестве исходного приближения х0 выбираем конец отрезка -3

x0=b=-3

 При первом приближении получаем:

 [pic 40]

Небаланс равен

    [pic 41][pic 42]

Что больше точности расчета

       Рассчитываем последующие приближения с проверкой условия окончания расчета, сводя их в таблицу 1.

Таблица 1 – Результат при приближении с начала отрезка

Вывод: На 6-ой итерации заданная точность была обеспечена. Следовательно, корень уравнения ξ=x6=-3,911688, не  находящиеся на локализованном отрезке, следовательно, он не удовлетворяет условиям задачи.  Вычислительный процесс не менее длительный, чем при методе бисекций.

2) В качестве исходного приближения х0 выбираем начало отрезка 1

x0=a=1

 При первом приближении получаем:

 [pic 43]

Небаланс равен

    [pic 44][pic 45]

Что больше точности расчета

       Рассчитываем последующие приближения с проверкой условия окончания расчета, сводя их в таблицу 2.

28.17.22.00.00.ПЗ

Лист

3

 Таблица 2 – Результат при приближении с начала отрезка

Вывод: На 17-ой итерации заданная точность была обеспечена. Следовательно, корень уравнения ξ=x17=-3,84965823, не  находящиеся на локализованном отрезке, следовательно, он не удовлетворяет условиям задачи. Вычислительный процесс более длительный, чем при методе бисекций.