Рационал теңсіздіктер

Рационал теңсіздіктер

Жоспар:

1. Негізгі ұғымдар
2. Рационал теңсіздіктер
3. Бір айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесі мен жиынтығы
4. Айнымалысы модуль таңбасының астына алынған теңсіздіктер

Сабақтың мақсаты: рационал теңсіздіктерді аралықтар әдісімен шешуді үйрену. Бір айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесі мен жиынтығының ұқсастықтары мен айырмашылығын көре білу. Модуль таңбалы теңсіздіктерді шешу әдістерін меңгеру.

F(x)>g(x) теңсіздігінің анықталу облысы деп f(x) функциясы мен g(x) функцияларында анықталған х-тің мәндерінің жиынын айтамыз. Басқаша айтқанда f(x)>g(x) теңсіздігінің анықталу облысы – ол f(x) функциясы мен g(x) функцияларының анықталу облыстарының қиылысуы болып табылады.

f(x)>g(x) теңсіздігінің дербес шешуі деп айнымалы х-тің оны қанағаттандыратын кез келген мәнін айтамыз. Теңсіздіктің шешуі деп оның барлық дербес шешулерінің жиынын айтамыз.

Бір х айнымалысы бар екі теңсіздік шешулері бір-бірімен дәл келсе (кей жағдайларда екі теңсіздіктің де шешуі болмайды), онда ол теңсіздіктер мәндес теңсіздіктер деп аталады.

Теорема 1: егер де теңсіздіктің екі жақ бөлігін де берілген теңсіздіктің анықталу облысынан алынған х-тің барлық мәндерінде алынған φ(х) функциясын қоссақ және мұнда теңсіздік таңбасын өзгеріссіз қалдырсақ, онда берілген теңсіздікпен мәндес теңсіздік аламыз.

Осылайша .[pic 1]

Теорема 2: егер теңсіздіктің екі жақ бөлігін де теңсіздіктің анықталу облысынан алынған  х-тің барлық мәндерінде тек қана оң мәндерді қабылдайтын φ(х) функциясына көбейтсек (немесе бөлсек) және мұнда бастапқы теңсіздік таңбасын өзгеріссіз қалдырсақ, онда берілген теңсіздікпен мәндес теңсіздік аламыз.

Осылайша, егер φ(х)>0 болса, ондп

[pic 2]

[pic 3]

Теорема 3: егер теңсіздіктің екі жақ бөлігін де теңсіздіктің онықталу облысынан алынған  алынған  х-тің барлық мәндерінде тек қана теріс мәндерді қабылдайтын φ(х) функциясына көбейтсек (немесе бөлсек) және мұнда теңсіздік таңбасын қарама-қарсы таңбаға өзгертсек, онда бастапқы берілген теңсіздікпен мәндес теңсіздік аламыз.

Осылайша, егер φ(х)<0 болса, ондп

[pic 4]

[pic 5]

Теорема 4: f(x)>g(x) теңсіздігі берілсін, мұнда теңсіздіктің анықталу облысынан алынған барлық х үшін f(x)≥0, g(x)≥0 орындалады. Егер теңсіздіктің екі жақ бөлігін де бірдей n натурал дәрежеге шығарсақ және мұнда теңсіздік таңбасын өзгеріссіз қалдырсақ, онда бастапқы теңсіздікпен мәндес теңсіздік аламыз.

[pic 6]

                          (1)[pic 7]

функциясын қарастырайық, мұнда n1, n2, …, nR – натурал сандар және ai  ≠ aj, bi ≠ bj, (i=1, 2, …, R,  j=1, 2, …, p).

x=ai нүктелерінде функция 0-ге айналады, бұл нүктелер функцияның нөлдері деп аталады. Егер сандық түзуде функцияның нөлдері мен үзіліс нүктелерін белгілесек, онда олар оны R+p+1 аралыққа бөледі. Математикалық талдау курсынан f(x) функциясы осы аралықтардың әрқайсысында үздіксіз және таңбасын сақтайтындығы белгілі. Осы таңбаны анықтау үшін осы аралықтарға тиісті кез-келген нүктені алып, есеп нүктедегі функциясының таңбасын анықтаған жеткілікті.

Мысал 1.  теңсіздігін шешіңіздер.[pic 8]

Шешуі:  функциясы  нүктелерінде нөлге айналады, х = 4 нүктесі – үзіліс нүктесі. Осы төрт нүкте сандық түзуді бес аралыққа бөледі: [pic 9][pic 10][pic 11]