Применение преобразований Лапласа в областях инженерии, энергетики и геологии

Применение преобразований Лапласа в областях инженерии, энергетики и геологии

Аннотация. Математика играет большую роль в повседневной жизни. Чтобы обосновать и подтвердить результаты своих исследований, ученные разных отраслей используют различные математические методы, инструменты или модели. Преобразование Лапласа – это один из инструментов, используемых учеными и исследователями в поиске решения своих проблем. В этой статье мы изучаем широкий спектр применений преобразований Лапласа в различных областях.

Ключевые слова: преобразование Лапласа, математика, наука.

Основная часть.

Основная цель преобразования Лапласа состоит в том, что оно преобразует систему уравнений, дифференциальных уравнений или интегральных уравнений в более простую форму, чтобы мы могли получить решение, исходя из легких математических вычислений. Существуют различные проблемы, которые действительно трудно решить или которые алгебраически находятся сложным путём. Преобразование Лапласа играет жизненно важную роль в нахождении решения сложных интегральных функций. В общем случае для нахождения линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами требуется метод преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа является эффективным инструментом для исследования схем с синусоидальными или несинусоидальными источниками данных. Широкий выбор использования метода делает его одним из самых востребованных для решения большинства задач. Как правило, используют преобразование Лапласа для решения дифференциальных уравнений более высоких порядков.

Преобразование Лапласа (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал).

[pic 1]

где (t) представляет время и (s) представляет сложную частоту. Определение преобразования Лапласа задается:

[pic 2]

Различные свойства преобразований Лапласа

1. Теория линейности

2. Преобразование Лапласа для производной

3. Преобразование Лапласа для интеграла

4. Теорема о начальных значениях

5. Теорема об окончательном значении

Основное применение преобразований Лапласа – решение дифференциальных уравнений.

Свойство преобразований производной

[pic 3]

Это свойство делает преобразование очень полезным для решения начальных задач, в которых используются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Следующие примеры показывают, как использовать преобразование Лапласа для решения дифференциальных уравнений.

Учитывая следующую начальную задачу

[pic 4]

Мы применяем преобразование Лапласа к каждому члену дифференциального уравнения и после использования свойства производной получаем:

[pic 5]

Выражаем Y(s), после чего находим функцию, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению

[pic 6]

[pic 7]

Так же можно рассмотреть преобразование Лапласа для более серьезных областей.

 Анализ структурной геологии с использованием проникающего в землю радара и искусственных нейронных сетей на основе преобразований Лапласа. Используя нейронные сети и исходя из различных видов географических конструкций, группируется дизайн топографической субстанции. Преобразование Лапласа используется вместо поддельных нагрузок и в линейной пропускной способности поддельного нейрона, что в дальнейшем помогает в отражении топографической карты и исключению темных областей.