Положительные рациональные числа

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1. Докажите, что

1. Число  является рациональным или иррациональным числом[pic 1]

Решение:

Допустим, что число  рациональное. Тогда, существуют такие взаимно простые p и q, что , откуда получаем . Так как p и q взаимно простые, то , а значит и p делится на 11. Тогда p = 11*k, где k – некоторое натуральное число. Отсюда q2=11*k2=p*k, что противоречит тому, что p и q взаимно просты. Итак, предположение ложно, значит число  иррационально.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

1. Число  является рациональным или иррациональным числом[pic 7]

Решение:

Допустим, что число рациональное. Тогда, существуют такие натуральные p и q, что  , откуда 100= , 100q=10p, 102*q=10p. Отсюда, 2*q = p, следовательно существуют такие натуральные числа p и q при которых верно равенство, значит число рациональное.[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

1. Число  является рациональным или иррациональным числом[pic 12]

Решение:

Обозначим данное число через х, тогда получим

;  х3-6*х2+12*х-11=0[pic 13]

Его рациональным корнями могут быть только числа 1 и -1, после проверки мы выяснили, что 1 и -1 не являются корнями данного уравнения.

Таким образом число  является иррациональным числом.[pic 14]

2. Докажите равносильность дробей  [pic 15]

Две дроби равносильны если выполняется равенство произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и произведения знаменателя первой дроби на числитель второй.

Получаем  Равенство выполняется. Таким образом дроби равносильны.[pic 16]

3. Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби [pic 17]

Решение:

Приведение дробей к общему знаменателю есть замена их равносильными дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Наименьший знаменатель данных дробей есть наименьшее общее кратное К (24, 36). Найдем его, представив числа 24 и 36 в каноническом виде.

К (24, 36) = 72

Так как, 72=24*3=36*2, то

[pic 18]

4. Как короче записать сумму [pic 19]

Решение:

Чтобы короче представить данную сумму, необходимо число 3 представить в виде правильной дроби с знаменателем 4, получим: