Метод простых итераций

Содержание:

1.        Теоретическая часть        3

2. Расчетная часть        6

2.1. Решение методом Якоби        6

2.2. Решение методом Зейделя        10

Вывод        14

Решить СЛАУ:

А) Методом простых итераций (Якоби)

Б) Методом Зейделя

( Решение в Microsoft Excel)

1. Теоретическая часть

Метод Якоби

Метод Якоби — это решения СЛАУ, приведённых к виду:  , при котором для подсчета -ой компоненты (k+1)-ого приближения к искомому вектору  используются уже найденные на предыдущем k-ом шаге значение i-1 компоненты, видоизменение МПИ, имеющего вид:[pic 1][pic 2][pic 3]

[pic 4]

Это означает, что если система  каким-либо образом приведена к системе    с матрицей коэффициентов  ij)ni,j=1  и вектором свободных членов c =(сi)ni=1 ,то ее приближения по методу Якоби определяется системой равенств:[pic 5][pic 6]

        , где k=0,1,2….[pic 7]

 – компоненты заданного начального вектора .[pic 8][pic 9]

В отличие от метода Зейделя мы не можем заменять [pic 10] на  [pic 11] в процессе итерационной процедуры, т.к. эти значения понадобятся для остальных вычислений. Это наиболее значимое различие между методом Якоби и методом Зейделя решения СЛАУ. Таким образом, на каждой итерации придётся хранить оба вектора приближений: старый и новый.

Возьмём систему линейных уравнений:

[pic 12] (1)   ,где

[pic 13]

Или [pic 14]

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием сходимости метода Якоби, при любом начальном векторе  к решению   системы (1): все собственные числа матрицы B по модулю меньше 1.[pic 15][pic 16]

Теорема 2. Априорные и апостериорные оценки для метода Якоби.

Пусть ||B||<=q<1 , тогда при любом начальном векторе метод Якоби сходится к единственному решению  системы (1) и имеет место оценка погрешностей:[pic 17]

|| -|| <=    ||  -   – апостериорная оценка;[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

|| -  || <=   ||  -  || – априорная оценка;[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

Теорема 3. Достаточное условие сходимости метода Якоби.

Если матрица А системы (1) имеет диагональное преобладание, то метод Якоби  (2) сходится.

Теорема 4. Критерий сходимости метода Якоби.

Рассмотрим        (2)[pic 28]

Метод Якоби сходится к решению системы (1) тогда и только тогда, когда все корни уравнения (2) по модулю меньше 1.

Метод Зейделя

Метод Зейделя – решения СЛАУ, приведённых к виду: , при котором для подсчёта -й компоненты -го приближения к искомому вектору  используется уже найденные на этом, то есть  -м шаге, новые значения  компонент, это видоизменение МПИ, имеющего вид:[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

, где [pic 34][pic 35]

Это означает, что если система  каким-либо образом приведена в системе  с матрицей коэффициентов  и вектором свободных членов, то приближения её к методу Зейделя определяется системой равенств:[pic 36][pic 37][pic 38]

                (3)[pic 39]

где k = 0,1,2,…n

 – компоненты заданного начального вектора .[pic 40][pic 41]

В связи с такой интерпретацией метод Зейделя называется методом последовательных смещений.

Теорема 5. Для сходимости метода Зейделя необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения  по модулю были меньше единицы.[pic 42]