Логарифмічний лишок. Підрахунок числа нулів і полюсів аналітичної функції

Логарифмічний лишок. Підрахунок числа нулів і полюсів аналітичної функції.

        Нехай функція  аналітична всюди в однозв’язній області , за винятком скінченного числа ізольованих особливих точок  , причому усі  є полюсами. Припустимо, що на межі  області  функція  не має ані нулів, ані особливих точок. [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

        Логарифмічною похідною функцією  називається похідна функція [pic 9][pic 10]

[pic 11]

Вона є однозначною аналітичною функцією всюди, за винятком особливих точок і нулів функції .[pic 12]

        Логарифмічним лишком функції  в точці  називається лишок в цій точці логарифмічної похідної   функції , тобто
[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

        За основною теоремою 7.1 логарифмічних лишків функції  в області   дорівнює . Цю величину називають також логарифмічним лишком функції  відносно замкненого контура .[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

        Аналіз розвинень логарифмічної похідної  в ряд Лорана в околі нулів і полюсів функції  приводить до наступного результату.[pic 23][pic 24]

        Теорема ?.?. Нулі і полюси функції  незалежно від їх порядку є простими полюсами логарифмічної похідної . У нулі  порядку (кратності)  логарифмічний лишок , а у полюсі  порядку  логарифмічний лишок . [pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

Наприклад, функція   має нескінчену кількість простих нулів   та один полюс  5-го порядку. Отже,   .[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

На підставі теореми ?.?. та основної теореми 7.1. Коші про лишки можна підрахувати число нулів і полюсів аналітичних функцій в заданих областях. При цьому кожен нуль або полюс рахується стільки разів, який його порядок.

Приклад ?.?. Знайти логарифмічний лишок функції   відносно її нулів та полюсів.[pic 40]

Розв’язання. Дана функція має нескінчене число простих нулів    і один простий полюс . Звідси [pic 41][pic 42]

[pic 43]

Повним числом  нулів (повним числом  полюсів) функції  називається число нулів (полюсів) з урахуванням їх кратності. Отже, якщо  – порядок нуля  , а  – порядок полюса  , то [pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

[pic 53]

Має місце теорема.

        Теорема ?.?. (про логарифмічний лишок). Нехай функція  аналітична в області  за винятком скінченого числа полюсів, неперервна на її межі  й в жодній точці цієї межі не дорівнює нулю. Тоді різниця між повним числом нулів  і повним числом полюсів  функції  в області  дорівнює логарифмічному лишку функції  відносно :[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

[pic 63]

        Наслідок. Якщо функція  аналітична в області , то вона не має в цій області особливих точок, отже,  й повне число нулів цієї функції всередині замкнутого контура  є[pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]

[pic 68]

        Зауваження. Теорема справедлива також й для многозначної області.

Логарифмічний лишок многочлена

[pic 69]

відносно контура  дорівнює числу нулів цього многочлена (з врахуванням їх кратності) в області , обмеженій контуром .[pic 70][pic 71][pic 72]

        Приклад ?.?.  Знайти логарифмічний лишок функції  відносно кола .[pic 73][pic 74]