Көп айнымалы функцияның дифференциялдық есептеуі

1-БИЛЕТ

Көп айнымалы функцияның дифференциялдық есептеуі.

Анықтама: Егер M (x_1,x_2…,x_n ), үшін белгілі бір ереже немесе заң болуы үшін нақты бір сан U сәйкес келсе, онда U M үшін функция деп аталады. Немесе U=f(M), U=(x_1,x_2…,x_n ), n≥2 болса функция көп айнымалы болады.

Z=f(x,y), U=f(x,y,z)

М1. Функцияның анықталу облысын табыңдар:

Z=ln⁡(4+4x-y^2 )

y=lnx, x>0 4+4x-y^2>0

x>y^2/4-1

y=x^2→x=±√y

x=y^2

Кері функция {█(y=x^2⟹x±√y@x=y^2 )┤ анықталу облысының анықтамасы : x>y^2/4-1

параболаның ішінде жатады.

M_1. Z=√(x^2+y^2-1)+ln⁡(4-x^2-y^2)

1) √(x^2+y^2-1) x^2+y^2-1≥0

√(x ) ; x≥0 x^2+y^2≥1 (1).

2) ln⁡(4+4x-y^2 ) 4-x^2-y^2>0

x^2+y^2<4 (2).

x^2+y^2=R^2 Шар ауданы

Анықталу облысы. R=1 және R=2 дөңгелек ортасында орналасқан сақина болада. Жазықтықтың бөлігі.

2. Шектер.

Ан. ∀ξ>0, ∃ δ>0⟹|x-x_0 |<δ, |y-y_0 |<δ

⟹|f(x,y)-A|<ξ,A,z=f(x,y), (x_0,y_0) нүктесіндегі шегі болады.

( lim)┬█(x→0@y→0)⁡f(x,y)=A

M2 lim┬█(x→0@y→0)⁡〖(√(x^2+〖(y-2)〗^2+1)-1)/(x^2+〖(y-2)〗^2 )〗=(0/0)⟹lim┬█(x→0@y→0)⁡〖(√(x^2+〖(y-2)〗^2+1)-1)(√(x^2+〖(y-2)〗^2+1)+1)/((x^2+〖(y-2)〗^2 ) (√(x^2+〖(y-2)〗^2+1)+1) )〗=lim┬█(x→0@y→0)⁡〖(x^2+〖(y-2)〗^2)/((x^2+〖(y-2)〗^2 ) (√(x^2+〖(y-2)〗^2+1)+1) )〗=1/2.

3. Функцияның үздіксіздігі.

Ан. Егер lim┬█(x→0@y→0)⁡〖f(x,y)=f(x_0,y_0 ), z=f(x,y),(x_0 y_0 ).〗 Орындалса үздіксіз болады.

M2 . z=1/(x-y) x-y≠0 y≠0

M2. Көлемі V дөңгелек конустың жасаушысы х, алдыңғы радиусы у көлемін х,у арқылы табыңдар.

V=1/3 πτ^2 h.

h=√(x^2-y^2 )

V=1/3 πy^2 √(x^2-y^2 )

2-БИЛЕТ

Дербес туындылар

x_0,∆x →x_0+∆x

y_0,→y_0

z=f(x,y),M(x_0,y_0 )

∆_x z=f(x_0+∆x_1,y_0 )-f(x_0 )

x_1 –дербес өсімше

Aн. Егер lim┬(∆x →0)⁡〖(∆_x z)/(∆x )〗=f^' (x_0,y_0 ) (1)

х- бойынша алынған дербес өсімшені ∆_x аргумент өсімшесіне қатынасына ∆_x 0-ге ұмтылғандағы шектеулі шегі бар болатын болса, онда ол шекті z=f(x,y) функциясының M(x_0,y_0 ) нүктедегі х бойынша алынған дербес туындысы дп атайды.

∂z- жалғыз өзінің мәні болмайды.

∂z/∂x болса «дзетдх» болып бірге оқылады да, бұл бөлшекті білдірмейді.

x_0,→x_0

y_0;∆y→y_0+∆y

∆_x z=f(x_0,y_0+∆y)-f(x_0,y_0 )

Aн. Егер lim┬(∆x →0)⁡〖(∆_y z)/(∆y )〗=〖f^'〗_y (x_0,y_0 ) (2)

z=f(x,y),M(x_0,y_0 ) , y

белгіліуі: ∂z/∂y , 〖z^'〗_y, 〖f^'〗_y (x,y)

∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z

〖u^'〗_x,〖 u^'〗_y 〖〖,u〗^'〗_z

〖f^'〗_х (x,y), 〖f^'〗_y (x,y) 〖〖,f〗^'〗_z (x,y)

Мыс: z=x^2-3xy-4y^2-x+2y+1

шешуі:

∂z/∂x=2x-3y-0-1

∂z/∂y=-3x-8y+2

3-БИЛЕТ

Жоғары ретті дербес туындылар

z=f(x,y).

∂z/∂x , ∂/∂x (∂z/∂x)=(∂^2 z)/(∂x^2 ) , ∂/∂y (∂z/∂x)=(∂^2 z)/∂y∂x.

∂z/∂y , ∂/∂y (∂z/∂y)=(∂^2 z)/(∂y^2 ) , ∂/∂x (∂z/∂x)=(∂^2 z)/∂x∂y .

(∂^2 z)/∂y∂x; (∂^2 z)/∂x∂y аралас дербес туындылар.

Егер z=f(x,y) үздіксіз болса, онда (∂^2 z)/∂y∂x = (∂^2 z)/∂x∂y (1) теңдігі орындалады.

z=f(x,y), (f_(x^2)^(,,) (x,y))_x^,=f_(x^3)^(,,,) (x,y)