Использование математических методов в решении Прикладных инженерных задач

Министерство обороны Российской федерации

Военный институт (инженерно-технический)

Курсовая работа по математике

«Использование математических методов в решении

Прикладных инженерных задач»

(часть 1)

«Применение уравнений математической физике

В решении инженерных задач»

Волновое уравнение

Факультет 4

423 учебная группа

Выполнил : к-т                                Мельников

                         Проверил                                      Волкова

Санкт-Петербург

2019г.

Постановка начально-краевой задачи для волнового уравнения

При расчетах свайных фундаментов на вертикальные колебания принимается следующая расчетная модель. Свая моделируется упругим стержнем длиною h. Ось ОХ параллельна стержню. Пусть стержень в положении равновесия « рассечен» полностью x= const . При этом будем также говорить, что сечение имеет координату х . Концы ( x=0 и x=h) стержня неподвижны. Поперечные сечения стержня совершают малые колебания. Продольное смещение от положения равновесия сечения стержня с координатой х в момент времени t обозначим U( x;t) . Функция U( x;t) удовлетворяет волновому уравнению . Найти распределение смещений U( x;t) по свае , если в начальный момент точки сваи выведены из состояния равновесия на величину U( x;0) = f1(x) и

ꝺ𝑈 им придана скорость  ( x;0) = f2(x). [pic 1]

𝜕𝑡

Математическая формулировка задачи

Найти решение U( x;t) волнового уравнения

[pic 2] 

При 0 ≤ x ≤ h, t ≥ 0 , удовлетворяющее начальным условиям

U( x;0) = f[pic 3]( x;0) = f2(x) при 0 ≤ x ≤ h

И граничным условиям

U(0; 𝑡) = 0,             ꝺ𝑈 ( h;t) = 0 при t ≥ 0

[pic 4]

Решение начально-краевой задачи для волнового уравнения

Для волнового уравнения  

1.1 Постановка задачи  Решить волновое уравнение ( 0 ≤ x ≤ h и t ≥ 0)

                                                [pic 5]                                   (1)                  

При начальных условиях:

                         U( x;0) =
[pic 6] ( x;0) = 0                         (2)                      

И граничных условиях :

                                          U(0; 𝑡) = 0,             ꝺ𝑈 ( h;t) = 0                            (3)                    

[pic 7]

Где В=2,6 , С=9,4 , h=4,4.

Задание

1. Методом Фурье найти точное аналитическое решение (в виде суммы ряда) начально-краевой задачи (1) - (3).
2. Построить график функции U (x1; t), где х1= h/2. Для этого , ограничиваясь тремя первыми ненулевыми  членами ряда, вычислить

приближенно U( x1;t), U( x1;t1), U( x1;2t1), U( x1;3t1), U( x1;4t1) , где  𝑡1 =

[pic 8].

1. Оценить погрешность вычислений значения U (x1; t1).

1.2. Вывод методом разделения переменных задачи Штурма- Лиувилля и ее решение

Ищем частные решения волнового уравнения

[pic 9] 

Отличные от тождественного нуля при 0 0, удовлетворяющие только краевым значениям (3):

U(0,t) = 0

ꝺ𝑈

[pic 10] (h,t) = 0

Частные решения ищем в виде произведения двух функций , каждая из которых является функцией только одной переменной  

                                                   U (x; t) =y(x)T(t)                                           (4)                  [pic 11][pic 12]

Подстановка представления (4) в уравнение (1) приводит к линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами для функции y(x) :