Задачи по "Алгебре"
Автор: tatyana_vol • Март 2, 2018 • Задача • 1,290 Слов (6 Страниц) • 1,681 Просмотры
Завдання 1
Довести тотожності теорії множин за допомогою алгебраїчних перетворень.
а) B ⊕ (C∪A) = ((B⊕C)∪(B⊕A)) \ ((B∩C)∪(B∩A))
б) B \ (C∪A) = (B \ C) \ A
Розв’язання
а) Доведемо тотожність теорії множин за допомогою алгебраїчних перетворень.
[pic 1]
{за означенням симетричної різниці} [pic 2]
{ закон де Моргана }[pic 3]
{дистрибутивний закон, [pic 4]
{закон поглинання, закон ідемпотентності }[pic 5]
{ закон де Моргана }[pic 6]
{за означенням різниці} [pic 7]
=B ⊕ (C∪A) {за означенням симетричної різниці}
В результаті перетворень правої частини ми отримали вираз, рівний лівій частині рівності, отже, тотожність доведено:
B ⊕ (C∪A) = ((B⊕C)∪(B⊕A)) \ ((B∩C)∪(B∩A))
б) Доведемо тотожність теорії множин за допомогою алгебраїчних перетворень.
Перетворимо ліву частину виразу, використавши основні закони алгебри множин:
B \ (С ) = [pic 8]
= = {за означенням операції різниці} [pic 9]
= = { закон де Моргана } [pic 10]
= = {асоціативність перетину} [pic 11]
= = { за означенням операції різниці } [pic 12]
= = { за означенням операції різниці } [pic 13]
В результаті перетворень лівої частини ми отримали вираз, рівний правій частині рівності, отже, тотожність доведено:
B \ (C∪A) = (B \ C) \ A.
Завдання 2
Довести тотожність теорії множин модельним шляхом.
((D∩([pic 14]∪A)) × (C⊕B)) ∪ (D×(C∪B)) = (D×(C∪B))
Розв’язання
Доведемо тотожність теорії множин модельним шляхом. Оскільки вираз містить декартовий добуток, то візьмемо пару елементів [pic 15]
Покажемо, що коли пара елементів належить лівій частині рівності, то вона належить і правій частині рівності:[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
Покажемо, що коли пара елементів належить правій частині рівності, то вона належить і лівій частині рівності:[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
Ми показали, що коли пара елементів належить правій частині тотожності, то вона належить і лівій частині тотожності і що коли пара елементів належить лівій частині тотожності, то вона належить і правій частині тотожності. Отже, тотожність доведено.[pic 50][pic 51]
((D∩([pic 52]∪A)) × (C⊕B)) ∪ (D×(C∪B)) = (D×(C∪B))
Завдання 3
Для бінарного відношення визначити які властивості воно має. Додатково для скінченного відношення побудувати матрицю відношення та граф (якщо відношення є відношенням порядку – побудувати діаграму Гассе). Для відношення еквівалентності знайти класи еквівалентності. Для відношення порядку знайти найменші/найбільші, мінімальні/максимальні елементи.
Відношення визначено на множині натуральних чисел N: xPy ⇔ НСД(x, y) = y
Розв’язання
Оскільки відношення Р є нескінченним на множині натуральних чисел, задамо відношення Р переліком частини його елементів:
...