Двойные и криволинейные интегралы

Вариант 1

Контрольная работа №8

Двойные и криволинейные интегралы

Задача №1. Вычислить двукратный интеграл:

[pic 1]

Решение:

Сначала вычислим внутренний интеграл, где  является переменной величиной, а  – постоянной. Затем полученный результат интегрируем по переменной :[pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Задача №2. С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями:

[pic 10]

Решение:

Построим фигуру, площадь которой нам нужно найти:

[pic 11]

Площадь фигуры вычисляем в декартовой системе координат по формуле:

[pic 12]

В данном случае будем интегрировать по оси :[pic 13]

[pic 14]

Найдем абсциссы точек пересечения линий:

[pic 15]

[pic 16]

Получили пределы интегрирования:

[pic 17]

Тогда площадь фигуры:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Задача №3. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

[pic 22]

Решение:

Объем тела, занимающего данную область (V), можно вычислить с помощью двойного интеграла

[pic 23]

Построим тело, объем которого нужно найти. Заданное тело представлено на рисунке ниже призмой . [pic 24]

[pic 25]

Сверху тело ограничено областью  – частью плоскости .[pic 26][pic 27]

Снизу тело ограничено частью параболического цилиндра .[pic 28]

Плоские боковые поверхности  , ,  соответственно части плоскостей .[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

Проекция данного тела на плоскость  выглядит следующим образом:[pic 33]

[pic 34]

Выберем пределы интегрирования:

[pic 35]

Запишем повторный интеграл:

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Задача №4. Вычислить криволинейный интеграл второго рода  вдоль дуги кривой  от точки  до точки .[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

Решение:

Сведем криволинейный интеграл к определенному:

[pic 44]

Переменная  изменяется от  до .[pic 45][pic 46][pic 47]

Подставляем в интеграл:

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

Контрольная работа №9

Элементы теории поля

Задача №1. Задано скалярное поле , точка  и вектор . Найти:[pic 56][pic 57][pic 58]

а) линии уровня;

б) градиент поля  в точке ;[pic 59][pic 60]

в) производную по направлению вектора  в точке ;[pic 61][pic 62]

г) наибольшую скорость изменения поля  в точке .[pic 63][pic 64]

Решение:

а) линии уровня;

Для   уравнение семейства линий уровня имеет вид:[pic 65]

[pic 66]

где  – произвольная постоянная. [pic 67]

Это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом .[pic 68]

б) градиент поля  в точке ;[pic 69][pic 70]

Вектором градиентом функции двух переменных  является вектор:[pic 71]

[pic 72]

Найдем частные производные функции : [pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

Тогда градиент равен:

[pic 76]

в) производную по направлению вектора  в точке ;[pic 77][pic 78]

Производную функции  по направлению вектора  найдем по формуле:[pic 79][pic 80]

[pic 81]

где  – направляющие косинусы вектора .[pic 82][pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

Тогда:

[pic 86]

г) наибольшую скорость изменения поля  в точке .[pic 87][pic 88]

Чтобы найти наибольшую скорость изменения скалярного поля  в точке , найдем модуль градиента скалярного поля в этой точке:[pic 89][pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

Задача №2. Вычислить работу силового поля  при перемещении вдоль дуги кривой  от точки  до точки  по кратчайшему пути. Сделать чертеж.[pic 93][pic 94][pic 95][pic 96]

Решение:

Работа силового векторного поля находится по формуле: