Геометрические факты, как свойства ортоцентра и лемма о трезубце

Введение

Актуальность

Проанализировав варианты ЕГЭ по профильной математике за последние 10 лет и обратив особое внимание на задачу 16(сложная задача по планиметрии), я заметил, что очень часто в одном из пунктов этой задачи требуется доказать некоторый известный математический факт, который неизвестен среднестатистическому школьнику =

, не изучающему геометрию на высоком уровне. Продукт данной работы должен помочь школьникам получить дополнительные знания, которые требуются для решения задачи №16 ЕГЭ

Оценка степени разработанности

К сожалению, в обычных школьных учебниках совсем не уделяется внимания данным фактам, а на просторах интернета я нашел всего пару работ по отдельным темам, однако они не направлены на помощь в сдаче ЕГЭ.

Цель

Цель данной работы- обобщить и систематизировать знания о геометрических фактах и конструкциях, необходимых для решения задачи №16, создать брошюру, подходящую для подготовки к ЕГЭ, которую учителя смогут использовать на своих занятиях по подготовке к ЕГЭ, а также при работе с сильными школьниками из 8-9 классов.

Задачи

Доказательство геометрических фактов и конструкций, полезных для сдачи ЕГЭ

Создание брошюры, которая будет полезна для повторения и закрепления изученных фактов

Подбор ряда задач, которые помогут закрепить знания, полученные из работы

Объект исследования

В данной работе будут исследованы такие геометрические факты, как свойства ортоцентра и лемма о трезубце. Именно они очень часто попадаются для доказательства в пункте а задачи №16 ЕГЭ по профильной математике.

Структура работы

В первой части работы будет представлено доказательство свойств ортоцентра и леммы о трезубце. Во второй части работы будут представлены решения задач из , где требуется знание данных фактов.

1. Ортоцентр

1.1 Определение ортоцентра

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений.

Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольном), вне его (в тупоугольном) или совпадать с вершиной (в прямоугольном — совпадает с вершиной при прямом угле). Ортоцентр относится к замечательным точкам треугольника и перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга как точка X(4).

1.2 История ортоцентра

Утверждение: «Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке», называемой теперь ортоцентром, в «Началах» Евклида отсутствует. Ортоцентр впервые в греческой математике использован в «Книге лемм» Архимеда, хотя явного доказательства существования ортоцентра Архимед не привёл.

Часть историков приписывает это утверждение Архимеду и называют его теоремой Архимеда. До середины девятнадцатого века, ортоцентр нередко называли архимедовой точкой.

В явном виде это утверждение («Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке») встречается у Прокла (410—485) — комментатора Евклида[15].

Другие историки математики считают автором первого доказательства Уильяма Чеппла .

Термин ортоцентр впервые был использован У. Х. Безантом в работе «Конические сечения, исследованные геометрически (1869)».

1.3 Свойство 1

При отражении ортоцентра относительно стороны треугольника полученная точка переходит на окружность, описанную около треугольника ABC

Доказательство

Пусть АА1, BB1, CC1- высоты треугольника ABC, H – ортоцентр, T- точка, симметричная ортоцентру относительно стороны BC. Пусть

∠CAB=α