Абсолютно неперервні функції

ЗМІСТ

ВСТУП………………………………………………………….………...............3

РОЗДІЛ 1. Абсолютно неперервні функції…………………………………….4

РОЗДІЛ 2. Диференціальні властивості, абсолютно неперервних функцій…8

РОЗДІЛ 3. Неперервні відображення…………………………………………..9

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ……………………………………

ВСТУП

      З класом функцій обмеженої варіації тісно пов'язаний більш вузький клас абсолютно неперервних функцій, у яких абсолютно неперервні їх сума і різниця.

              Метою даної курсової роботи є дослідження абсолютно неперервних функцій .

         Для досягнення мети поставлено ряд завдань:

• довести, що будь-яка абсолютно неперервна функція є дійсно неперервна , а зворотне невірно;
• навести приклади абсолютно неперервної функції;
• охарактеризувати диференціальні властивості неперервних функцій;

      В процесі виконання роботи доведено ряд теорем , розглянуто умови, що забезпечують абсолютну неперервність суперпозиції двох абсолютно неперервних функцій .

РОЗДІЛ 1. Абсолютно неперервні функції
       З класом функцій обмеженої варіації тісно пов'язаний більш вузький клас абсолютно неперервних функцій.
       Означення: Нехай на проміжку [a,b] задана кінцева функція  f(x). Якщо будь-якому > 0 відповідає таке δ> 0, що для будь-якої кінцевої системи взаємно не пересічних інтервалів (,),... (), для якої
[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

                                (1)[pic 5]

Виявляється

                 (2)[pic 6]

то кажуть, що функція абсолютно неперервна.
        Очевидно, що будь-яка абсолютно неперервна функція неперервна в звичайному сенсі слова, бо, зокрема, можна взяти n = 1. Нижче ми побачимо, що зворотне невірно.
       Не змінюючи змісту означення, ми можемо умову (2) замінити складнішою  умовою

f()-f()⃒ <             (3)[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

        Дійсно, нехай число δ> 0 таке, що з (1) випливає нерівність

[pic 11]

       Тоді, взявши будь-яку систему взаємно не пересічних інтервалів

 для якої виконано (1), ми можемо розбити цю систему на дві частини A і В, віднісши в А ті інтервали (), до яких f()-f()≥0, а в B всі інші інтервали системи. Виду очевидних відношень[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

<.
,[pic 16][pic 17][pic 18]

ясно, що виконано (3).

        Оскільки всі складові суми (3) невід'ємні, а число їх довільне, ясно, що будь-якому > 0 відповідає таке δ> 0, що яку б кінцеву або лічильну систему взаємно не прилеглих інтервалів {()}для якої , не взяти, виявиться, що[pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

        Покажемо, що замість абсолютних приростів функції f(x)
можна говорити про її коливання.
      Справді, якщо найбільше і найменше значення  f(х) на проміжку [] суть  і, то в [] можна знайти такі точки , що f() = , f()=.
     Оскільки сума довжин інтервалів (), очевидно, не перевищує суму довжин інтервалів ( ясно, що[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

.[pic 34]

        Отже, якщо функція  f(х) абсолютно неперервна, то будь-якому > 0 відповідає таке δ> 0, що яку б кінцеву чи лічильну систему взаємно не прилеглих інтервалів {()}, для якої  , не взяти, буде , де як звичайно,  означає коливання f(x) на [].
       Найпростішим прикладом абсолютно неперервної функції може служити будь-яка функція f(x), задовольняє умові Ліпшіця.[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]