Задачи по "Геометрии"

Задание 2. Решить задачи, выбрав вариант в соответствии с номером в опубликованном списке группы. Построение чертежа является обязательным элементом процесса решения.

2. Диагонали квадрата АВСМ пересекаются в точке О. Отрезок НО - перпендикуляр к плоскости квадрата, НО = 4. Точка К – середина стороны квадрата. Найдите угол между прямой НК и плоскостью квадрата, если площадь квадрата равна 64.

Дано:

АВСD- квадрат.

НО=4см

АВ=ВС=СМ=МA=8см.

Найти: НКО-?[pic 1]

Решение

АС=АМ√2=8√2 см диагональ квадрата

КО=АМ/2=4 см половина диагонали.

∆МКА- прямоугольный треугольник

tg НКО = НО/КО = tg 1 = 0,0174°.[pic 2]

4. Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные длиной 2. Найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол 60°, а их проекции перпендикулярны.

Решение:

Пусть SO - перпендикуляр к данной плоскости, тогда ASВ = 60°;[pic 3]

 АО = ОВ (как проекции равных наклонных, проведенных из одной точки);

 ASB = 60° и AS = SB, значит ∆ASB - равносторонний, тогда АВ = AS = SB = 2;[pic 4]

 АООВ (по условию) и АО=ОВ, значит ∆АОВ — прямоугольный и равнобедренный, отсюда ОАВ = ОBА = 45°;[pic 5][pic 6][pic 7]

ВО = АО = АВ * cos 45° = 2 *√2/2 = √2;

 В ∆AOS — прямоугольном:

SO = √AS2 -АО2 = √4-2 = √2 м

Ответ SO = √2.

16. Через вершину B тупого угла параллелограмма ABCD проведена прямая BM, перпендикулярная его плоскости. Вычислите длины сторон параллелограмма, если AM = 3  см, MD = MC = 5 см, AC = 2  см.[pic 8][pic 9]

Решение

 ∆МВО = ∆МВC (МС = МО. MB - общая,  MBD =  МBС = 90°), значит. ВD =BС.[pic 10][pic 11]

 Пусть AD = BD = ВС = х см, AB = DС = у см. По свойству сторон и диагоналей параллелограмма АС2 + ВD2 = 2(АВ2+ВС2), (2√22)2 + х2 =2 (х2+у2).

 В ∆АМВ ( АВМ =90°. AM=3√5 см, АВ = у см) катет MB2 = AM2 - AB2, [pic 12]

MB2 = (3√5)2 –у2.

 В ∆МВС ( MBC = 930, МС = 5 см, BC = x см) катет MB2 = MC2 - BC2, [pic 13]

BM2 = (5)2 –x2.

Составим систему уравнений и решим ее

(2√22)2 + х2 =2 (х2+у2).

(3√5)2 –у2=(5)2 –x2.

х = 4 (см), у = 6 (см).

Ответ: 6 см. 4 см.