Задачи по "Геометрии"

[pic 1]

Відомі вершини трикутника АВС.
Знайти:

1) рівняння висоти АЕ
2) рівняння медіани СК
Трикутник показати на рисунку

А(-5;-2), В(-3;3), С(5;3)

Рівняння виду Ax+By+C=0 - називається загальним рівнянням прямої на площині, тоді вектор s=(−B;A) - і всякий ненульовий вектор, з ним колінеарний, називається напрямних вектором цієї прямої., тоді вектор N=(A;B) - перпендикулярний цій прямій і цей вектор є нормаллю до цієї прямої. Рівняння прямої Bx−Ay+C2=0 - рівняння прямої, перпендикулярної прямої Ax+By+C=0.

У завданні дані координати всіх точок, тому знайдемо рівняння прямої BC, а потім висоти. Рівняння прямої будемо шукати як рівняння прямої, що проходить через дві задані точки за формулою

x−x1x2−x1=y−y1y2−y1

або з прив'язкою до коефіцієнтів загального рівняння прямої x−x1−B=y−y1A Підставляємо координати точок В (-3; 3), С (5; 3)

x+35+3=y−33−3=>x+38=y−30

Завдання істотно спростилася, тому вектор направляючої має координати s=(8;0), тобто пряма BC паралельна осі Ox і її рівняння y=3. Тоді висота, через точку А(-5; -2), паралельна осі Oy матиме рівняння x=−5, перевіримо це.

Коефіцієнти загального рівняння прямої рівні A=0;B=−8. Отримали рівняння прямої BC: 0∗x−8y+C=0.

Рівняння висоти отримуємо шляхом заміни коефіцієнтів перед x і y і знака перед однією з змінних, тобто отримуємо рівняння висоти 8x+0y+C=0 Підставляємо координати відомої точки прямої А (-5; -2), отримуємо 8∗(−5)+C=0=> C=40 , рівняння висоти

8x+40=0=>x=−5

Відповідь: рівняння висоти BC:  x=−5

Даны вершины треугольника АВС. А(-5;0) В(7;9) С(5;-5);

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) угол В в радианах с точностью до двух знаков;

4) уравнение высоты CD и ее длину;

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD;

Дано координати вершин трикутника А(-2; 0), В(2; 6), С(4; 2)
Знайти:
1)  висоту ВD проведену на сторону АС  
2) кут BAC 

1. Рівняння висоти BD, опущеної з вершини B на сторону AC.

Висота BD опущена з вершини B на сторону AC, тобто з умови завдання відома одна координата точки  В(2; 6)  і напрямок - пряма перпендикулярна прямий AC.
Скористаємося властивістю кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих: k1=−1k2.