Үшбұрыштағы метрикалық қатыстар

Лекция 11

Үшбұрыштағы метрикалық қатыстар

Жоспары:

1. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы

2. Үшбұрыш қабырғалары мен бұрыштары арасындағы қатынастар

3. Үшбұрыштар теңсіздігі

4. Фалес теоремасы. Үшбұрыштың орта сызығы

5. Пифагор теоремасы

6. Тікбұрышты үшбұрыштың элементтері арасындағы метрикалық қатыстар

1.  Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы

Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысының неге тең екендігін білу үшін мұғалім оқушыларға әртүрлі формадағы үшбұрыш моделдерін, сондай-ақ дәптердегі олардың сызбаларын тікелей өлшеу арқылы үшбұрыштың бұрыштарының қосындысын анықтауды ұсынады.

Олар үшбұрыштағы барлық бұрыштарды өлшеп, олардың қосындысын анықтайды; мұғалім сынып тақтасына түрліше, шамамен 178°-тан 182°-қа дейінгі шекарада алынған нәтижелер шығады. Ал көпшілігінде үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы шамамен 180° болады.

Бұдан үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180° деген қорытынды шығару әлі ерте. Мұғалім экспериментті жалғастырып, оқушыларға басқа тәсілмен үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысын анықтауды ұсынады: қағаз үшбұрыштың барлық бұрыштарын қырқып алып (1,а-сурет), оларды түзудің үстіне бір нүктеден          1,ә-суретте көрсетілгендей етіп орналастырады.

[pic 1]

Үшбұрыштың үш бұрышы жазық бұрышты түзеді; сонда, олардың қосындысы 180°-қа тең болады деген қорытындыға келуге болады. Бірақ мұғалім оқушылардың назарын өлшеу-есептеу жолымен алынған нәтижелер, тәжірибелік-эксперимент жасау нәтижесі де, көзге айқын көрініп тұрғанның өзі де математика ғылымында жеткілікті негіздеме бола алмайтындығына назар аударады.

Екіншіден тәжірибелік жолмен – өлшеумен және есептеумен, сонымен бірге, бұрыштарды тікелей қосу жолымен – ішкі бұрыштардың қосындысының қаншаға тең екендігін дәл анықтауға да болмайтындығы айтылады. Бірақ осыған дейін белгілі айқиқат тұжырымдарға сүйеніп мұны дәлелдеу жолымен дұрыстығын көрсетуге болады.

Теорема. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180° - қа тең.

Дәлелдеуі. АВС үшбұрышы берілсін. В төбесі арқылы АС табанына параллель DE түзуін жүргіземіз (2-сурет). Онда DE||AC болғандықтан,

[pic 2]

BAC=ABE      және   ACB=CBD.   Екінші жағынан,  ABE+B+CBD=180° (жазыңқы бұрыш). A=ABE,  C=CBD  болғандықтан, A + B + C = 180°.[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

10-есеп. Үшбұрыштың екі доғал бұрышы болуы мүмкін бе?

Шешуі: Екі доғал бұрыштың қосындысы 180°-тан артық, сондықтан үшбұрышта екі доғал бұрыш болуы мүмкін емес.

11-есеп. Тең қабырғалы үшбұрыштың әр бұрышы 60°-қа тең екенін көрсетейік.

Шешуі. Егер ∆АBС тең қабырғалы болса, онда A=B=C және A+B+C=180°. Осыдан A=B=C=60°.[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Үшбұрыштың сыртқы бұрыштары ұғымы төмендегідей енгізіледі.

Оқушылар үшбұрыш салып, мұғалімнің тапсырмасы бойынша бұрыш төбесінен оның қабырғаларының бірін созып, үшбұрыштың бұрышына сыбайлас жаңа бұрыш алады. Мұғалім мұндай бұрыштың үшбұрыштың сыртқы бұрышы деп аталатындығын хабарлайды. Оқушылар үшбұрыштың басқа да сыртқы бұрыштарын сызады.

Кейін үшбұрыштың сыртқы бұрышы сүйір, тік және доғал бұрыш болатын жағдайлары қарастырылады.

Үшбұрыш бұрышына сыбайлас бұрышты оның сыртқы бұрышы деп атайды.          3-суретте BCD бұрышы үшбұрыштың С төбесіндегі сыртқы бұрышы.

A+B+C=180° болғандықтан, . Сонымен бірге C+BCD=180° (сыбайлас бұрыштар). Сондықтан BCD=180°-C. Осыдан A+B=BCD, яғни үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес екі бұрышының қосындысына тең.[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]