Задачи по "Маркетингу"

Задача 7

С целью увеличения реализации продукции фирма выделяет ежемесячно на рекламу 10 тыс. грн. Менеджер фирмы рассматривает возможность трех видов рекламы – на радио, на телевидении и в прессе. Каждая минута рекламы на радио стоит 200 грн., на телевидении – 500 грн., а одно объявление в прессе – 300 грн.

Маркетинговые исследования показывают, что количество объявлений в прессе за месяц не должно быть больше 5, количество минут рекламы на радио – не превышать рекламу на телевидении более чем вдвое. Опыт прошлых месяцев подтверждает, что каждая минута радиорекламы способствует увеличению реализации продукции на 2%, телерекламы – на 5%, а одно объявление в прессе – на 3%.

Задания:

1) записать математические модели прямой и двойственной задач;

2) реализовать решения прямой задачи, используя программное средство (Mathematica, MS Excel, Lindo и т.д.);

3) выписать оптимальный план прямой и двойственной задач, сделать их экономический анализ;

4) рассчитать интервалы устойчивости двойственной оценки по изменению бюджета на рекламу;

5) рассчитать интервалы возможных изменений прибыли от каждой вложенной в рекламу 1 грн.

Решение:

Введем переменные, которые будут использоваться. Так как фирме надо определиться относительно того, сколько рекламы каждого вида нужно использовать, чтобы максимизировать реализацию продукции, то количество минут радиорекламы за месяц обозначим через х1, количество минут рекламы на телевидении за месяц обозначим через х2, а через х3 – количество объявлений в прессе за месяц.

Задача состоит в том, чтобы найти «наилучшие» значения х1, х2 и х3. Очевидно, что наилучшими для данной задачи являются такие значения, которые максимизируют увеличение реализации продукции.

Суммарное увеличение реализации продукции определяется из следующего выражения:

2х1 + 5х2 + 3х3 процентов.

Фирма будет достигать максимальной реализации продукции, если максимизирует целевую функцию:

Z(x) = 2х1 + 5х2 + 3х3  → max.

А теперь мы должны определить все ограничения по рекламе через х1, х2 и х3.

Фирма выделяет ежемесячно на рекламу 10 тыс. грн., т.е. должно выполнятся ограничение

200х1 + 500х2 + 300х3 ≤ 10000.

Количество объявлений в прессе за месяц не должно быть больше 5, т.е.

х3 ≤ 5.

Количество минут рекламы на радио – не превышать рекламу на телевидении более чем вдвое:

х1 ≤ 2х2.

Следует отметить, что существует еще три очевидных условия, которые необходимо учесть, а именно переменные х1, х2 и х3, которые показывают количество использованных видов рекламы, не могут иметь отрицательные значения. То есть имеем еще три ограничения «по здравому смыслу» о неотрицательности переменных в виде:

х1≥0, х2≥0  и х3≥0.

Запишем математическую модель прямой задачи:

[pic 1]

Используя модель прямой задачи, составим математическую модель двойственной задачи.

Имеем три ограничения, не считая условий неотрицательности, значит в двойственной задаче будет 3 переменные: [pic 2].

Коэффициенты целевой функции возьмем из правых частей неравенств:

[pic 3].

Эту целевую функцию нужно минимизировать.

В прямой задаче три переменные, поэтому в двойственной задаче будут три ограничения-неравенства:

[pic 4]

Учитывая знак неравенств в прямой задачи, получим, что должны выполняться условия [pic 5].