Контрольная работа по "Цифровому устройству"

1. Прохождение гармонического сигнала через нелинейный элемент. Сущность метода гармонической линеаризации. Понятие передаточной функции нелинейного элемента.

В НСАУ могут существовать особые режимы «автоколебаний». Автоколебания – собственные колебания в нелинейной системе, обладающие свойством устойчивости, то есть способностью сохранять амплитуду и форму (частоту) колебаний.

Для расчета такого рода колебаний подходит метод гармонической линеаризации, который позволяет определить амплитуду и частоту первой гармоники этих колебаний.  

Сущность метода сводится к следующему. Нелинейный элемент системы  заменяется линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена (при условии возникновения в замкнутой системе незатухающих колебаний).

После прохождения гармонического сигнала через нелинейный элемент (при отбрасывании старших гармоник) получают:

[pic 1][pic 2].

Таким образом, гармонический сигнал, проходя через нелинейный элемент, домножается на некоторое операторное выражение, которое естественным образом называется передаточной функцией НЭ:

[pic 3].

Исходя из существования незатухающих автоколебаний формулируются условия эквивалентности (однозначности) протекания периодического процесса в разомкнутой и замкнутой системах (Условия эквивалентности гармонического баланса).

1. Гармонический сигнал действует внутри системы, то есть он не приходит извне и не является управляющим.

2. Линейная часть системы либо статически устойчива, либо нейтральна, то есть в ней не должно быть не минимально-фазовых звеньев.

Рассмотрим нелинейную систему.

[pic 4]

        Для того чтобы в замкнутой системе возникли незатухающие колебания, необходимо выполнение следующих условий: при [pic 5] сигналы x(t) и y(t) в разомкнутой и замкнутой системах должны быть равны по модулю, но иметь противоположные знаки.

Иными словами, должно выполняться [pic 6]  и    [pic 7]. Иначе гармоническая линеаризация в данной НСАУ невозможна.

В общем случае при гармонической линеаризации автономных замкнутых систем на выходе нелинейного элемента появляется полигармоническая функция z(t). Полигармонический сигнал z(t) можно разложить в ряд Фурье. Следовательно, появляются гармоники 2ω, 3ω, 4ω…и т. д. Сигнал y(t) тоже будет иметь много гармоник.

Наличие  высших гармоник в сигнале z(t) затрудняет выполнение условий эквивалентности гармонического баланса.

Решение этой задачи в теории НСАУ получило название "гипотеза фильтра", определяемое неравенством:  [pic 8]   при    k > 1.                                                            

Требование гипотезы сводится к тому, чтобы дополнительные гармоники, оставшиеся в выходном сигнале y(t) были много меньше (по модулю) первой гармоники.

Рассмотрим типовую нелинейную систему первого класса.

[pic 9]

При наличии в системе автоколебаний сигнал рассогласования x1(t) будет иметь вид: [pic 10],    где [pic 11].

На выходе НЭ имеем реакцию x2(t) = z(t) - периодическую  полигармоническую функцию, которая раскладывается в ряд Фурье:

[pic 12], где   [pic 13],

[pic 14],    [pic 15].

        Учтем важное для дальнейших исследований условие. Если структура модели ЛЧ  соответствует гипотезе фильтра, то можно считать y(t) моногармонической функцией. Поэтому для реакции НЭ x2(t) = z(t) так же ограничимся  только одной первой гармоникой 

Тогда получим (рассматривается случай симметричного выходного сигнала, когда x20 = 0):