Құю есептері

Құю есептері

Құю есептерін зерттеп, әр түрлі есептердің шешу жолдарын дәлелдеу.

жоспары:

1. Құю есептерінің келіп шығу тарихы
2. Ұзындықпен аудандағы Дирихле принципі

Мазмұны

Бұл бөлімдегі тапсырмалардың көпшілігі V-VII сыныптарға арналған. Бірақ 8-10 есептер VII-VIII сыныптарда, ал 11-14 есептер-VIII-IX-сыныптарда жақсы шешіледі.

Екі (кейде үш) бос ыдысты пайдаланып, белгілі бір мөлшердегі сұйықтықты құю мәселесін қарастырайық. Бұл жағдайда тек екі операцияға рұқсат етіледі: бір ыдысты босатып, екіншісін шетіне дейін толтыру.  

1. Бір адамның кегісінде (бочок)12 пинт шарап бар (бір пинт - француздық көлемнің ескі өлшемі, 1 пинт ≈ 0,568 л) ​​және шараптың жартысын сыйлағысы келеді, бірақ оның 6 пинтті ыдысы жоқ, бірақ 8 пинтті және 5 пинтті екі бос ыдысы бар. Олармен дәл 6 пинт шарапты қалай құюға болады?

Бұл осы мәселелердің ішіндегі ең әйгілісі; оны Пуассон мәселесі деп атайды. Атақты француз математигі, механигі және физигі Симеон Денис Пуассон (1781-1840) оны жас кезінде шешкен, кейінірек оның математик болуына себепші болғанын айтқан.  

Мәселенің шешімін былай жазуға болады:

Есептің шығарылуын былай түсіну керек. Алдымен екі ыдыс та бос (бірінші баған). 8 пинтті банкаға су толтырамыз(екінші бағанға), содан кейін одан 5 пинтті банкаға (үшінші бағанға) құямыз, содан кейін осы 5 пинтті кішкене банкадан 12 пинтті (төртінші баған), содан кейін 8 банкіден 3 пинт шарапты 5 пинтті банкаға (бесінші баған) құйыңыз, осылайша екі банканың үлкенінде 6 пинт шарап бар болғанша жалғастыру керек.      

Алдымен 5 пинтті құмыраны толтыру арқылы мәселені басқаша шешуге тырысыңыз. Бұл шешім алдыңғысына қарағанда қысқа бола ма?

2. Үш  литрлік және бес литрлік екі бос ыдыс бар. Бұл ыдыстар көмегімен өзеннен 1 литр суды қалай алуға болады?

3. 5л және 7л бос екі шелекті, су құятын шүмекті және оны төгуге арналған раковинаны пайдаланып, дәл 4 литр суды қалай құйып алуға болады?  

4. Бос 9 литрлік шелек пен 5 литрлік банка көмегімен квас баррелінен тура 3 литр квасты қалай құйып алу керек?

5. 12 л және 9 л екі бос шелектің көмегімен өзеннен тура 4 литр су алу мүмкін бе?

Шелектердің бастапқы сыйымдылықтары 3 -ке бөлінгендіктен, бір шелектен екіншісіне құю және өзеннен су жинау үшін олардың әрқайсысында көлемі 3 -ке бөлінетін су мөлшері болады. Бірақ 4 саны 3- ке бөлінбейтіндіктен, 4 литр су алуға болмайды.

Жауабы: мүмкін емес.

Бұл мәселені жалпылау туралы ойланайық. Көлемі a литр және b литр  болатын екі бос ыдыс болсын және өзеннен дәл с литр су жинау қажет (мұндағы а, в және с - натурал сандар, ал с а мен в сандарының  үлкенінен аспайды). Егер с саны а мен в сандарының ең үлкен ортақ бөлгішіне бөлінбесе, онда алдыңғыға ұқсас, бұлай жасауға болмайды.

Бірақ егер с саны а мен б -ның ең үлкен ортақ бөлгішіне бөлінсе ше? Бұл жағдайда мәселенің әрқашан шешімі болатынын көрсетуге болады. Атап айтқанда, егер а және b сандары өзара жай сандар болса болса, бұл әрқашан мүмкін.  

6. 17 л және 5 л екі бос ыдысты пайдаланып, сүт цистернасынан тура 13 литр сүтті қалай құюға болады?

7. 12 литрлік және 7 литрлік екі бос шелекті, сондай-ақ шүмек пен раковинаны пайдаланып, дәл 1 литр суды қалай құйып алуға болады?

8. Бір ыдыста кемінде 10 литр сүт бар. Тоғыз литрлік бос шелек пен бес литрлік ыдыс көмегімен одан тура 6 литр сүтті қалай құюға болады?