Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Центр качания

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Центр качания. Теорема Гюйгенса.

Физический маятник – это тяжелое твердое тело (ТТ), которое может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. Положение такого ТТ определяется углом θ, который образует плоскость, проходящая через ось вращения и центр масс G, с вертикалью. Обозначим момент инерции ТТ относительно оси вращения Oz через Jz . Пусть Jz = mk2 , где m – масса тела, а k – так называемый радиус инерции ТТ относительно оси вращения Oz.

Связи допускают только поворот ТТ вокруг оси Oz, поэтому можем применить теорему об изменении момента импульса относительно Oz

 mk2  (d2θ/ dt2)= −mgl sinθ или ӫ = − gl/k2 sin θ

Уравнение подобно уравнению движения математического маятника

ӫ = − g/ lm (sin θ)

Физический и математический маятники будут качаться синхронно, если lm= k2/l

Величина lm называется приведенной длиной физического маятника. Пометим на линии OG точку O′, для которой OO ′ = lm

Эту точку называют центром качания физического маятника. Обозначим момент инерции ТТ относительно оси, проходящей через центр масс G и параллельной Оz через mρ^2, где ρ − центральный радиус инерции. По теореме Гюйгенса – Штейнера: mk^2= mp^2 +ml^2 => k^2 = p^2+l^2. Подставляя это в формулу (Lm), получим lm =k^2/l=p^2/l 9l >l. Отсюда видно, что всегда lm > l , т. е. точка подвеса и центр качания расположены по разные стороны от центра тяжести G. Условие (LmL) можно переписать в виде: (lm –l)l= p^2, или |O’G|*|OG|= p^2. Полученная формула симметрична относительно точек O и O′, а это значит, что при подвешивании маятника за точку O′ приведенная дина и период колебаний останутся прежними lm  = p^2/( lm  -l) + (lm –l) = l +p^2/l = lm. Этот факт называется теоремой Гюйгенса: точка подвеса физического маятника и центр качания взаимны, т.е., если центр качания взять за точку подвеса, то прежняя точка подвеса будет центром качания. Период колебаний при этом не изменится.

Силы реакций при вращении твердого тела (TT) вокруг неподвижной оси. Рассмотрим ТТ с двумя закрепленными точками O и O'. ТТ может совершать только вращательное движение вокруг оси OO'. Во время движения тела ось остается неизменной как по отношению к ТТ, так и по отношению к некоторой неподвижной системе координат Oxyz. Для удобства выберем неподвижную систему координат с началом в O, направив ось Oz вдоль OO'. TT рассматриваем как систему материальных точек с массами mν и координатами (xν, yν,zν), на которые действуют активные силы с проекциями Xν, Yν, Zν на оси координат. Наложенные связи допускают поворот TT вокруг неподвижной оси Оz, ⇒ можно применить теорему об изменении момента количества движения относительно оси Оz. Эта теорема приводит к уравнению движения dK/dt = N, где Kz= − ∑ mv (xv yv – yv xv), а N − сумма моментов всех активных сил относительно оси Оz. Обозначим через ω угловую скорость вращения ТТ. Тогда проекции скоростей точек тела на неподвижные оси xv = -w yv, yv = -w xv, zv =0 => ∑ mv (xv yv – yv xv) = w ∑ mv (xv ^2 +yv ^2)= Jw. где J − момент инерции ТТ относительно оси Оz. Он не меняется со временем, ⇒ J (dw/dt)=N. В технических задачах часто требуется определить величину опорных реакций. Для определения сил реакций освободим ТТ от связей, заменив их неизвестными силами реакций, действие которых эквивалентно действию связей. Обозначим через R и R' силы реакций, приложенные в точках O и O'; а через h − расстояние между этими точками. Реакции будут иметь проекции на оси координат R = (X, Y, Z) и R' = (X', Y', Z'). Оси, при вращении вокруг которых ТТ не оказывает давления на обе на закрепленные точки (внешними силами пренебрегаем), называются свободными осями. Для такой оси должно выполняться ∑ mv xv =∑ mv yv =∑ mv xv zv = ∑ mv yv zv =0. Оси, при вращении вокруг которых ТТ не оказывает давления на вторую закрепленную точку O′, называются постоянными осями. Для такой оси должно выполняться ∑ mv yv zv =0 и =∑ mv xv zv = 0, т.е. ось Oz должна быть главной осью эллипсоида инерции для точки O. Таких осей у ТТ много, три штуки в каждой точке − главные оси инерции для данной точки.