Определение усилий в стержнях пространственной конструкции

С1.5  ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ

ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Дано[pic 13]

P=3 кH

Q=1 кH

а=3,0м,

b=4,5м,

c=2,0м.

[pic 14]

Опр.

S1-S6[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Решение:

 Конструкция состоит из шести стержней, соединённых шарнирами, при этом в узлах A и D приложены активные силы P  и Q  . Рассмотрим сначала равновесие узла A , в котором сходятся три стержня. Вырежем мысленно узел A , отбросив стержни 1, 2, 3, и рассмотрим его равновесие. На узел A действует активная сила Р  . Действие отброшенных стержней заменим соответствующими реакциями  S1 , S2  ,  S3  , равными усилиям в стержнях. Поскольку направления усилий в стержнях неизвестны, будем направлять их от узла, считая все стержни растянутыми. Система сил, действующих на узел A , представляет собой пространственную систему сил, линии действия которых сходятся в одной точке. Для такой системы сил можно записать 3 независимых уравнения равновесия, а именно 3 уравнения проекций.

Выберем оси координат, направив их по сторонам прямоугольного параллелепипеда.[pic 23]

[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

[pic 40][pic 41][pic 42]

[pic 43]

Запишем соответствующие полученной системе сил уравнения равновесия и решим их.

∑Fx = 0; S3+Pcosγ*sinβ=0        (1)  

 ∑Fy = 0; S1+Pcosγ*cosβ=0       (2)      

∑Fz = 0; S2-Psinγ=0                   (3)

Значения тригонометрических функций углов  и β определим исходя из расчётной схемы и размеров параллелепипеда:

        сos α  =        cos  β =[pic 44][pic 45]

sin α =     cos  γ =[pic 46][pic 47]

sin  β =     sin γ =0,346[pic 48][pic 49]

        Вычислим величины усилий.

Из 1) S3= -Pcosγ sinβ=    

Из 2)  S1=-Pcosγ cosβ=

Из 2)  S2=-Psinγ=

Для определения усилий в стержнях 4, 5, 6 вырежем теперь мысленно узел D и, отбросив эти стержни, рассмотрим его равновесие. На узел D действует активная сила Q  . Действие отброшенных стержней заменим соответствующими реакциями  S1  ,  S4  , S5  ,  S6  , равными усилиям в стержнях. При этом будем учитывать III закон Ньютона: усилие S1  направлено в сторону, противоположную направлению соответствующего усилия, приложенному к узлу A . Как и ранее, усилия в стержнях будем направлять от узла, считая все стержни растянутыми.