Распределение Максвелла

Лабораторная работа № 1

Распределение Максвелла

Цель работы: применение распределения Максвелла для расчета частоты ионизации атомов электронным ударом

Теоретическое введение

Статистика Максвелла – распределение по скоростям (кинетическим энергиям) частиц физической системы, находящейся в состоянии равновесия, в отсутствие внешних полей при условии, что движение частиц подчиняется законам классической механики. Функция распределения [pic 1] позволяет рассчитать относительное количество частиц dN/N, скорости которых окажутся около значения [pic 2]:

[pic 3].                                            (1)

Распределение Максвелла не зависит от конкретных особенностей взаимодействия частиц и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно описание с помощью классической физики. В случае многоатомных молекул распределение Максвелла имеет место для движения их центров масс и не зависит от внутримолекулярного движения, даже в том случае, когда для описания последнего необходимо использовать законы квантовой механики.

Различают функции распределения (ФР) Максвелла по компоненте скорости ϕ(vx), по модулю скорости F(v) и по кинетической энергии частицы F(E).

1. ФР по компоненте скорости частиц (рис. 1) и условие её нормировки:

[pic 4], [pic 5] [pic 6]  (2)

1. ФР по модулю скорости частиц (рис. 2) условие её нормировки:

[pic 7],     [pic 8]              (3)

Функция F(v) имеет локальный максимум при скорости [pic 9], называемой наиболее вероятной.

1. ФР по кинетическим энергиям частиц E = mv2/2 и условие её нормировки:

[pic 10],    [pic 11]                      (4)

[pic 12]

Рис. 1. Распределение молекул азота по компоненте скорости

[pic 13]

Рис. 2. Распределение молекул азота и водорода по модулю скорости

Чтобы перейти от распределения по модулю скорости (3) к распределению по кинетическим энергиям (4), необходимо не только подставить известное соотношение между скоростью и кинетической энергией поступательного движения частицы:

[pic 14],                                                      (5)

но и учитывать связь функций распределения при замене аргумента:

[pic 15].                                               (6)

В электронике для энергии часто используют не единицу системы СИ (Джоуль), а внесистемную единицу – электронвольт (эВ). 1 эВ = 1,6⋅10-19 Дж – энергия, которую приобретает электрон, пройдя в электрическом поле ускоряющую разность потенциалов 1 В. Если применить (5) к электронам, выразив их кинетические энергии и температуру в эВ, т.е. произвести замены: E[Дж] → eE[эВ], kT[Дж] → eTe[эВ], распределение (4) принимает вид:

[pic 16].                                  (7)

Максвелл использовал для обоснования распределений (2) – (4) принцип детального равновесия: каждый микропроцесс в системе, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, протекает с той же скоростью, что и микропроцесс, обратный ему.

Пусть прямой микропроцесс при упругом столкновении двух молекул сопровождается изменением их скоростей:  [pic 17]. Тогда обратный микропроцесс будет характеризоваться: [pic 18].  Возможные изменения скоростей молекул в результате столкновений ограничены законами сохранения энергии и импульса: