Теорія систем і системний аналіз

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Факультет КИТАЕР

Кафедра ЕТ

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

до курсової роботи з дисципліни

«Теорія систем і системний аналіз»        

Виконав:

Ст. гр. СУА – 15

Бойко В.О.

Перевірив:

Поцепаєв В.В.

                                                       Покровськ – 2017.

Завдання

Варіант №2

Задана нелінійна вільна система другого порядку, яку можна описати наступним звичайним диференційним рівнянням:

[pic 1]

1. Зобразити початкову систему у вигляді системи диференційних рівнянь першого порядку (у просторі станів).
2. Визначити положення рівноваги системи.
3. Провести лінеаризацію системи.
4. Виконати аналітичний розрахунок лінеаризованої системи та отримати графік  для початкових умов , .[pic 2][pic 3][pic 4]
5. Виконати чисельний розрахунок початкового нелінійного рівняння та отримати графік  для тих же початкових умов.[pic 5]
6. Виконати чисельний розрахунок лінеаризованої системи рівнянь та отримати графік  для тих же початкових умов.[pic 6]
7. Побудувати фазовий портрет системи.
8. Дослідити асимптотичну стійкість стану рівноваги системи згідно з першим методом Ляпунова та зробити висновки по роботі.

Початкові дані

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

ЗМІСТ

 ВСТУП                5ст.

1 ПОДАННЯ ВИХІДНОЇ СИСТЕМИ В ПРОСТОРІ СТАНІВ                6ст.

2 ВИЗНАЧЕННЯ ПОЛОЖЕННЯ РІВНОВАГИ СИСТЕМИ                6ст.

3 ЧИСЕЛЬНИЙ РОЗРАХУНОК СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ                7ст.

4 ЛІНЕАРИЗАЦІЄЮ СИСТЕМИ        8ст.

5 АНАЛІТИЧНА РІШЕННЯ ЛІНЕАРИЗОВАНЕ СИСТЕМИ                9ст.

6 ПОБУДОВА ФАЗОВОГО ПОРТРЕТА                11ст.

7 ДОСЛІДЖЕННЯ АСИМПТОТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ СИСТЕМИ        13ст.

ВИСНОВКИ                14ст.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ.                15ст.

ВСТУП

Теорія систем є математичною основою для вирішення завдань пов'язаних з розробкою наукових методів дослідження фізичних процесів, в її рамках розроблені ефективні методи дослідження систем довільної природи.

Останнім часом все інтенсивніше розширюється сфера застосування математичних методів. При цьому важливу роль відіграють «системний підхід» і "системний аналіз". Для створення математичної моделі користуються теорієюзвичайних диференціальних рівнянь, яка продовжує залишатися основним інструментом вирішення практичних завдань. Це пояснюється наявністю добре розвиненого аналітичного апарату і чисельних методів рішення звичайних диференціальних рівнянь.

В цій роботі досліджується модель нелінійної системи, яка описується диференціальним рівнянням другого ступеня. Для цього використовуються методи сучасної алгебри, до яких відносяться метод Ляпунова.

РОЗДІЛ 1. ПОДАННЯ ВИХІДНОЇ СИСТЕМИ В ПРОСТОРІ СТАНІВ.

1. Початкове рівняння другого порядку має вигляд:

                (1.1)[pic 12]

Нехай:

  ;                                                [pic 13]

.                        (1.2)[pic 14]

Тоді остаточно отримаємо наступну систему першого порядку:

                  (1.3)[pic 15]

Система (1.3) є зображенням початкового рівняння (1.1) у просторі станів.

РОЗДІЛ 2. ВИЗНАЧЕННЯ ПОЛОЖЕННЯ РІВНОВАГИ СИСТЕМИ.

1. Станом рівноваги системи називається такий стан, у якому система залишається за умови, що вхідний вплив дорівнює нулю, тобто швидкість змінювання дорівнює нулю. Щоб система знаходилась у стані рівноваги, похідні  та  повинні дорівнювати нулю. Тому отримаємо:[pic 16][pic 17]

                         (2.1)[pic 18]

Підставивши перше рівняння в друге, знайдемо, що:

                                                (2.2)[pic 19]

Система має положення рівноваги у нульовій точці .[pic 20]

РОЗДІЛ 3. ЧИСЕЛЬНИЙ РОЗРАХУНОК СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ.

1. Нелінійна система:

                (3.1)[pic 21]

Загальний вигляд лінійної системи, яку ми отримаємо:

                                 (3.2)[pic 22]

Для визначення коефіцієнтів  сформуємо наступну матрицю:[pic 23]