О шифровании методом примитивных многочленов

Министерство образования и науки Республики Казахстан

НАУЧНЫЙ ПРОЕКТ

По теме «О шифровании методом примитивных многочленов»

Доля учащихся 6-9 классов

Абстракт

1. Цель исследования:

        -  Изучение методов кодирования, связанных с матрицами, составленных из 0 и 1;

- Изучение методов кодирования, связанных с примитивными многочленами.

2. Задачи исследования:

        - Изучение видов кодирования;

- Изучение кодирования применением элементов линейной алгебры.

3. Гипотеза:

        - Стандартный базис арифметического векторного пространства позволяет кодировать информацию;

        - Метод кодирования основанный на примитивные многочлены.

4. Объект исследования:

        - Базис арифметического пространства, теория матриц, теория примитивных многочленов.

5. Методы исследования:

        - Теория матриц, разложение вектора по базису, на основании операции в классе вычетов по модулю 2;

- Теория примитивных многочленов, построения которых основываются в классе вычетов;

        - Нахождение НОД и НОК многочленов.

6. Новизна исследования и степень самостоятельности:

        - Применение в теории информации теорию целых чисел, основанную операциях в классе вычетов по модулю 2;

- Применение теории многочленов, построение примитивных многочленов по определенным степеням;

- Для определенных видов информации (практические задачи) при помощи приведенных методов найдены кодированные сообщения.

7. Результаты работы:

- При помощи кодирующих матриц и соответствующих многочленов найдены кодированные информации;

- При помощи кодирующего многочлена найдены многочлены кодирования.

8. Область практического использования:

        - Работа может быть применена на факультативных занятиях с одаренными детьми, предварительным изучением элементов линейной алгебры;

        - При теоретических исследованиях в области теории информации, где применяются теория чисел и теория многочленов.

Введение

        Теория информации тесно связана с такими разделами математики как теория вероятностей и математическая статистика, а также прикладная алгебра, которые предоставляют для нее математический фундамент. С другой стороны теория информации исторически и практически представляет собой математический фундамент теории связи.
        В работе изучается некоторые вопросы кодирования и раскодирования информации. Основными методами кодирования информации в работе являются применения матричного метода, а также метода примитивных многочленов. При этом арифметические операции сложения рассматривается в классе вычетов по модулю 2.  

Для применения матричного метода, рассмотрены операции сложения, умножения матриц, которые используются при кодировании и декодировании заданной информации.

Результаты работы могут быть применены на факультативных занятиях с математически подготовленными школьниками старших классов.

1 Введение в кодирование и виды кодов

1.1 Виды кодов

Пусть [pic 1] матрица размерности [pic 2], состоящая из элементов [pic 3], где [pic 4] — это номер строки, а [pic 5] — номер столбца. Каждый из элементов матрицы [pic 6] может быть либо 0, либо 1. Кодирование реализуется [pic 7] или

[pic 8],

где кодовые слова рассматриваются как векторы-строки, т.е. как матрицы размера [pic 9].

Пример 1. Рассмотрим следующую [pic 10]-матрицу:

[pic 11].

Тогда кодирование задается такими отображениями:

000 → 000000,                 001 → 001111,                 010 → 010011,                 

011 → 011100,                 100 → 100110,                 101 → 101001,

110 → 110101,                 111 → 111010.

Рассмотренный пример показывает преимущества матричного кодирования: достаточно запомнить [pic 12] кодовых слов вместо [pic 13] слов. Кодирование не должно приписывать одно и то же кодовое слово разным исходным сообщениям. Простой способ добиться этого состоит в том, чтобы [pic 14] столбцов (в предыдущем примере — первых) матрицы [pic 15] образовывали единичную матрицу. При умножении любого вектора на единичную матрицу получается этот же самый вектор, следовательно, разным векторам-сообщениям будут соответствовать разные вектора систематического кода.