Элементы функционального анализа
Автор: Соня • Октябрь 12, 2020 • Задача • 289 Слов (2 Страниц) • 298 Просмотры
Студентка: Коробейникова Екатерина
Группа: 7395
Дата: 11.05.2020
Элементы функционального анализа
Домашнее задание №6
Вариант 64
Вычислите норму матрицы в пространствах . Найдите векторы, на которых эта норма реализуется.[pic 1][pic 2]
(*) Вычислите норму в пространстве .[pic 3][pic 4]
(**) Докажите, что существует матрица такая, что . Вычислите норму в пространстве .[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]
[pic 9]
Решение.
(1) Пространство .[pic 10]
Из лекции. Норма оператора в :[pic 11]
— максимум столбцовых сумм.[pic 12]
Найдём максимум столбцовых сумм для исходной матрицы. Для этого посчитаем суммы в каждом столбце:
1) [pic 13]
2) [pic 14]
3) [pic 15]
4) [pic 16]
Отсюда видно, что максимум достигается в третьем столбце, следовательно:
[pic 17]
(2) Пространство .[pic 18]
Т.к. дана симметричная матрица, у оператора имеется базис ортогональных векторов.
Из лекции.
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
Ясно, на каком собственном векторе неравенство превращается в равенство. Следовательно, .[pic 23]
Тогда норма матрицы равна максимальному её элементу:
[pic 24]
(3) Пространство .[pic 25]
Из лекции. Норма оператора в :[pic 26]
— максимум строковых сумм.[pic 27]
Найдём максимум строковых сумм для исходной матрицы. Для этого посчитаем суммы в каждой строке:
1) [pic 28]
2) [pic 29]
3) [pic 30]
4) [pic 31]
Отсюда видно, что максимум достигается в третьей строке, следовательно:
[pic 32]
Норма совпала с нормой в , поскольку матрица симметричная.[pic 33]
...