Элементы комбинаторики

Элементы комбинаторики.

Задачи для самостоятельной работы

1. Сколько существует двузначных чисел, у которых цифры различные и нечетные?

Нечетных цифр пять, это 1, 3, 5 ,7 ,9

Взять для числа десятков можно любое из пяти чисел, и для числа единиц тоже любое из пяти чисел. Таким образом 5*5 = 25 чисел.

Если вопрос стоит так, чтобы числа не повторялись (то есть не учитываем 11, 33, 55, 77, 99), то получится 25-5 = 20 чисел

Ответ: 20

1. Из двух математиков и восьми экономистов надо составить комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик?

В команду входит либо один математик, либо два математика. Разберём оба случая. Если в команде два математика, то шесть экономистов к ним можно добавить C610 способами. Если же в команду входит только один математик (его можно выбрать двумя способами), то команду можно дополнить 7 экономистами C710  различными способами. Таким образом, общее число возможных команд равно   2C710 + C610 = 2C310 + C410 = 450 способами.

Ответ: 450

1. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

С19 = 9 способами можно выбрать цифру для разряда единиц и разряда десятков тысяч (ноль исключаем, т.к., если он находится в разряде десятков тысяч, то число не является пятизначным).

С110 = 10 способами можно выбрать цифру для разряда десятков и тысяч.

С110 = 10 способами можно выбрать цифру для разряда сотен.

Таким образом, существует С19 * С110 * С110 = 9 * 10 * 10 = 900 пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево.

1. Во взводе 3 сержанта и 30 солдат. Сколькими способами можно выделить одного сержанта и трех солдат для патрулирования?

Одного сержанта можно выбрать тремя способами из трёх.

Трёх солдат из 30-ти можно выбрать, как С 330 =  =  = 4060[pic 1][pic 2]

Поскольку количество сержантов равно 3, то общее количество отрядов равно:

4060 * 3 = 12180 способами

Ответ: 12180

Случайные события. Вероятность события

Задачи для самостоятельной работы

1. В ящике имеется 15 шаров: 5 черных и 10 белых. Из ящика наугад выбирается один шар. Какова вероятность, что этот шар а) белый; б) черный?

Число выбора одного шара из 15 имеющихся определяется всевозможными сочетаниями 15 по 1:

С115 =  = 15[pic 3]

Значит полную группу элементарных событий рассматриваемого испытания (выбор двух шаров) составляют 15 событий. Следовательно, n = 15.

а) Если из элементарных событий рассматривать только те, которые состоят в выборе двух белых шаров, то находим: