Числові ряди

Міністерство освіти і науки України

Полтавський національний технічний університет

імені Юрія Кондратюка

Електромеханічний факультет

Кафедра вищої математики

Індивідуальні завдання

з вищої математики

до теми:

«Числові ряди»

для самостійної роботи і контролю

знань студентів всіх спеціальностей

Полтава ПНТУ 2016

Індивідуальні завдання з вищої математики до теми «Числові ряди» для самостійної роботи і контролю знань студентів.–Полтава: ПолтНТУ, 2016.–21 с.

Укладачі:  С.П. Рендюк, канд. пед. наук, ст. викладач

Рецензент: М.М. Сєрова, канд. фіз.-мат. наук, доцент

Відповідальний за випуск: завідувач кафедри вищої математики,

доктор фіз.-мат. наук, професор М.І. Сєров

Затверджено науково-методичною радою університету

Протокол

№________від________________2016 р.

Основні поняття і визначення

Означення 1: Числовим рядом називають вираз виду

[pic 1],                (1)

де члени ряду [pic 2] – фіксовані числа.

Розглянемо частинні суми:

[pic 3]

Якщо існує скінченна границя S числової послідовності [pic 4] при [pic 5], тобто [pic 6] то ряд (1) називається збіжним і має суму S.

В протилежному випадку ([pic 7] не існує, або [pic 8]) ряд називають розбіжним.

Ознаки збіжності числових рядів

І. Ряди з додатними членами:

1. Необхідна ознака збіжності ряду:

Якщо числовий ряд [pic 9] збіжний, то [pic 10].

1. Ознака д’Аламбера:

Якщо для ряду [pic 11] виконується:

[pic 12]

1. Радикальна ознака Коші:

Якщо для ряду [pic 13] виконується:

[pic 14]

1. Інтегральна ознака Коші:

Ряд [pic 15] збіжний і розбіжний одночасно з інтегралом

[pic 16], де [pic 17].

1. І-а ознака порівняння:

Нехай задані два ряди з невід’ємними членами

[pic 18] , [pic 19]         (2)

[pic 20] , [pic 21],         (3)

і для всіх n виконується нерівність [pic 22].

Тоді, якщо ряд (3) збіжний, то збіжний і ряд (2). Якщо ряд (2) розбіжний, то розбіжний і ряд (3).

1. ІІ-а (гранична) ознака порівняння:

Якщо маємо два ряди з додатними членами

[pic 23] , [pic 24] 

[pic 25] , [pic 26],

і існує скінченна, відмінна від нуля границя [pic 27] ([pic 28]), то ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

ІІ. Знакопочергові ряди:

Означення 2: Знакопочерговим називається ряд виду

[pic 29],

де [pic 30].

1. Ознака Лейбніца:

Ряд [pic 31] збіжний, якщо:

а) [pic 32];

б) [pic 33].

ІІІ. Знакозмінні ряди:

Означення 3: Ряд, в якому члени зі знаками «+» і «‒» розміщені в довільній послідовності називається знакозмінним.

1. Абсолютна і умовна збіжності рядів:

Візьмемо довільний знакозмінний ряд

[pic 34],                 (4)

де числа [pic 35] можуть мати довільний знак.

Одночасно розглянемо ряд, утворений з модулів ряду (4):

[pic 36] .                (5)

Ознака: Якщо ряд (5) збіжний, то збіжний і ряд (4).

Означення 4: Знакозмінний ряд (4) називають абсолютно збіжним, якщо ряд (5), утворений з модулів його членів, є збіжним.

Означення 5: Якщо ряд (4) збіжний, а ряд (5), утворений з модулів його членів, розбіжний, то ряд (4) називають умовно збіжним.

1. Довести збіжність ряду та знайти його суму

1. [pic 37]                                (Відповідь: [pic 38]).
2. [pic 39]                                (Відповідь: [pic 40]).
3. [pic 41]                        (Відповідь: [pic 42]).
4. [pic 43]                                (Відповідь: [pic 44]).
5. [pic 45]                        (Відповідь: [pic 46]).
6. [pic 47]                                (Відповідь: [pic 48]).
7. [pic 49]                        (Відповідь: [pic 50]).
8. [pic 51]                                (Відповідь: [pic 52]).
9. [pic 53]                        (Відповідь: [pic 54]).
10. [pic 55]                                (Відповідь: [pic 56]).
11. [pic 57]                        (Відповідь: [pic 58]).
12. [pic 59]                                (Відповідь: [pic 60]).
13. [pic 61]                        (Відповідь: [pic 62]).
14. [pic 63]                                (Відповідь: [pic 64]).
15. [pic 65]                        (Відповідь: [pic 66]).
16. [pic 67]                                (Відповідь: [pic 68]).
17. [pic 69]                        (Відповідь: [pic 70]).
18. [pic 71]                                (Відповідь: [pic 72]).
19. [pic 73]                        (Відповідь: [pic 74]).
20. [pic 75]                                (Відповідь: [pic 76]).
21. [pic 77]                        (Відповідь: [pic 78]).
22. [pic 79]                                (Відповідь: [pic 80]).
23. [pic 81]                        (Відповідь: [pic 82]).
24. [pic 83]                                (Відповідь: [pic 84]).
25. [pic 85]                        (Відповідь: [pic 86]).
26. [pic 87]                                (Відповідь: [pic 88]).
27. [pic 89]                        (Відповідь: [pic 90]).
28. [pic 91]                                (Відповідь: [pic 92]).
29. [pic 93]                        (Відповідь: [pic 94]).
30. [pic 95]                                (Відповідь: [pic 96]).

1. Дослідити на збіжність вказані ряди за ознакою д’Аламбера

1. [pic 97]                                (Відповідь: розбіжний).
2. [pic 98]                                (Відповідь: збіжний).
3. [pic 99]                                (Відповідь: збіжний).
4. [pic 100]                        (Відповідь: розбіжний).
5. [pic 101]                                        (Відповідь: розбіжний).
6. [pic 102]                (Відповідь: збіжний).
7. [pic 103]                                (Відповідь: збіжний).
8. [pic 104]                (Відповідь: розбіжний).
9. [pic 105]                                (Відповідь: збіжний).
10. [pic 106]                                (Відповідь: збіжний).
11. [pic 107]                                (Відповідь: збіжний).
12. [pic 108]                                (Відповідь: збіжний).
13. [pic 109]                                (Відповідь: збіжний).
14. [pic 110]                (Відповідь: розбіжний).
15. [pic 111]                                (Відповідь: розбіжний).
16. [pic 112]                                (Відповідь: збіжний).
17. [pic 113]                                (Відповідь: збіжний).
18. [pic 114]                                (Відповідь: збіжний).
19. [pic 115]                                (Відповідь: розбіжний).
20. [pic 116]                (Відповідь: збіжний).
21. [pic 117]                        (Відповідь: збіжний).
22. [pic 118]                                (Відповідь: збіжний).
23. [pic 119]                                (Відповідь: збіжний).
24. [pic 120]                (Відповідь: розбіжний).
25. [pic 121]                                        (Відповідь: збіжний).
26. [pic 122]                (Відповідь: збіжний).
27. [pic 123]                                (Відповідь: розбіжний).
28. [pic 124]                                (Відповідь: збіжний).
29. [pic 125]                                (Відповідь: збіжний).
30. [pic 126]                                (Відповідь: збіжний).

1. Дослідити на збіжність вказані ряди за радикальною ознакою Коші

1. [pic 127]                                (Відповідь: розбіжний).
2. [pic 128]                                (Відповідь: збіжний).
3. [pic 129]                        (Відповідь: збіжний).
4. [pic 130]                        (Відповідь: збіжний).
5. [pic 131]                        (Відповідь: збіжний).
6. [pic 132]                        (Відповідь: збіжний).
7. [pic 133]                        (Відповідь: збіжний).
8. [pic 134]                        (Відповідь: збіжний).
9. [pic 135]                        (Відповідь: збіжний).
10. [pic 136]                                (Відповідь: збіжний).
11. [pic 137]                        (Відповідь: збіжний).
12. [pic 138]                        (Відповідь: збіжний).
13. [pic 139]                                (Відповідь: збіжний).
14. [pic 140]                                (Відповідь: збіжний).
15. [pic 141]                                (Відповідь: збіжний).
16. [pic 142]                        (Відповідь: розбіжний).
17. [pic 143]                        (Відповідь: збіжний).
18. [pic 144]                                (Відповідь: збіжний).
19. [pic 145]                        (Відповідь: збіжний).
20. [pic 146]                                (Відповідь: збіжний).
21. [pic 147]                (Відповідь: збіжний).
22. [pic 148]                                (Відповідь: збіжний).
23. [pic 149]                        (Відповідь: збіжний).
24. [pic 150]                                (Відповідь: збіжний).
25. [pic 151]                        (Відповідь: збіжний).
26. [pic 152]                        (Відповідь: збіжний).
27. [pic 153]                        (Відповідь: збіжний).
28. [pic 154]                        (Відповідь: збіжний).
29. [pic 155]                        (Відповідь: збіжний).
30. [pic 156]                        (Відповідь: збіжний).

4. Дослідити на збіжність вказані ряди за інтегральною ознакою Коші