Суть задачі підсумовування розбіжних рядів

§2.  Суть задачі підсумовування розбіжних рядів

Різні факти з галузі математичного аналізу, як, наприклад, розбіжність добутку двох збіжних рядів, природно висунули питання: "Про можливість підсумовування розбіжних рядів, в якомусь новому значенні", звісно відмінному від звичайного.

Потрібно сказати, що до створення Коші строгої теорії границь (і пов'язаної з нею теорії рядів) розбіжні ряди нерідко зустрічалися в математичній практиці. Розбіжний ряд виявлявся позбавленим суми.

Хоча застосування їх при доведеннях і оскаржувалось, проте іноді робилися спроби надавати їм навіть числовий зміст.

Так ,  ряду

1 – 1+ 1 – 1 + 1 – 1 + …

ще з часів Лейбніца в ролі  "суми" приписувалося число . Ейлер, наприклад, мотивував це тим, що з розкладу[pic 1]

[pic 2]

(яке насправді має місце лише для ) при підстановці замість х одиниці якраз і виходить [pic 3]

[pic 4]

У цьому вже містилося зерно істини, але постановці питання не вистачало чіткості; сама довільність у виборі розкладу залишала відкритою можливість, скажімо з іншого розкладу (де п і т - будь-які, але m < n)

[pic 5]

отримати одночасно

[pic 6]

Сучасний аналіз ставить питання по-іншому. В основу кладеться те чи інше точно сформульоване означення "узагальненої суми" ряду, не придумане тільки для конкретного  числового ряду, що нас цікавить але застосовне до цілого класу таких рядів. Означення "узагальненої суми" підпорядковується двом вимогам.

По-перше, якщо ряду  приписується "узагальнена сума" А, а ряду  - "узагальнена сума" В, то ряд , де p, q - дві довільні сталі, повинен мати в ролі "узагальненої суми" число pA+qB. Метод підсумовування, що задовольняє цій вимозі, називається лінійним.[pic 7][pic 8][pic 9]

По-друге, ряд, що збігається в звичайному розумінні до суми А, повинен мати "узагальнену суму", і при цьому також рівну А. Метод підсумовування, що володіє цією властивістю, називають регулярним. Зрозуміло, інтерес являють лише такі регулярні методи, які дозволяють встановлювати "суму" у більш широкому класі випадків, ніж звичайний метод підсумовування: лише тоді з повним правом можна говорити про" узагальнене підсумовування". Ми переходимо  тепер безпосередньо до розгляду особливо важливих з точки зору додатків методів “узагальненого підсумовування".

§3. Метод степеневих рядів

3.1 Суть методу

Хоча формулювання методу "узагальненого підсумовування" належить Пуассону, цей метод називають все ж методом Абеля, оскільки Пуассон застосував цей метод лише в окремому випадку. Тому надалі ми будемо називати цей метод - методом Пассона-Абеля. Він полягає в наступному.

За даним числовим рядом

[pic 10]

 будується степеневий ряд

[pic 11]

Якщо цей ряд для 0 f(x) при x→1-0 має границю А:

[pic 12]

то число А і називають "узагальненої (в розумінні Пуассона-Абеля) сумою" даного ряду.

Приклади.

1) Ряд, розглянутий Ейлером:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …,

згідно з  означенням приводить до степеневого ряду,

[pic 13]

сума якого  при x→1-0 прямує до границі .Отже, число , дійсно, є "узагальненої сумою" зазначеного ряду в точно встановленому тут розумінні.[pic 14][pic 15][pic 16]

2) Візьмемо більш загальний приклад: тригонометричний ряд

[pic 17]

є розбіжним при всіх значеннях [pic 18]

Дійсно, якщо  має вигляд , де p і q- натуральні числа, то для значень n, кратних q, буде[pic 19][pic 20]

,[pic 21]