Соответствия, функции. Отношения

Тема «Соответствия, функции. Отношения»

• а р и а н т 6

1. На предприятии имеются три автомашины: две грузовые -1, 2, работающие в две смены, и автобус 3, используемый редко. Машина 2 в настоящее время находит-ся в ремонте. В штате имеются три шофера: а, б, с, из которых с находится в от-пуске. Рассмотрим соответствие {(а,1), (а,3), (б,1}, которое задает распределение водителей по машинам. Изобразите это соответствие графически. Определите тип соответствия. Является ли оно функцией? Если да, то какой?

Решение.

Рассмотрим множества: [pic 2][pic 1]

Рассмотрим соответствие   [pic 3][pic 4]

Область определения  [pic 5]

Область значения [pic 6]

Данное соответствие не является функциональным по определению: не выполняется условие  [pic 7]

Соответствие не является сюръективным по определению: [pic 8]

Соответствие является частично определённым по определению: .[pic 9]

Соответствие не является инъективным по определению: не выполняется условие  (в данном соответствии пары ) [pic 10][pic 11]

1. Объясните, почему отношение равенства отрезков является отношением эквивалентности, а отношение «короче» не является.

Решение.

Отношение равенства есть отношение эквивалентности, так как выполняются свойства:

• рефлексивности (отрезок равен сам себе),
• симметричности (равные отрезки взаимозаменяемы),
• транзитивности (a=b, b=c ⇒ a=c).

Отношение "короче" не является отношением эквивалентности, так как не выполняются свойства:

• рефлексивности (отрезок не может быть короче себя самого);
• симметричности (если один отрезок короче другого, то из этого не следует, что второй отрезок короче первого).

1. Привести пример транзитивного отношения, которое не является симметричным и рефлексивным

Решение.

По определениям это отношение:

Отношение на множестве  - не рефлексивное: [pic 12][pic 13][pic 14]

Отношение  - не симметричное:  [pic 15][pic 16]

Отношение на  - транзитивное:  [pic 17][pic 18][pic 19]

Пример такого отношения:

[pic 20]

[pic 21]

1. . Изобразите  графически. Найдите . Постройте матрицу отношения  и по матрице проверьте, является ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным, если[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

P1={(a,1),(a,2),(а,4),(c,3),(b,4),(b,1)}, P2={(1,1), (2,4), (2,1), (3,3),(4,2),(4,1)}.