Ряды
Автор: Margaritakarman • Сентябрь 22, 2018 • Контрольная работа • 1,331 Слов (6 Страниц) • 306 Просмотры
Министерство образования республики Беларусь
Учреждение образования
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»
Специальность Инфокоммуникационные технологии (сети инфокоммуникаций)
Типовой расчет
По курсу "Высшая математика"
Типовой расчет №2. РЯДЫ
Вариант №5
Выполнил студент гр. 603041 С.И.Грук
Витебская обл.
г.Лепель, 211180
ул. Чуйкова, д.161, кв.32
Минск, 2018
Задание 1
Найдите сумму данного ряда (если он сходится) либо докажите расходи-
мость этого ряда.
[pic 1]
Решение:
a)
[pic 2]
Имеем
[pic 3]
Ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда.
б)
[pic 4]
Имеем
[pic 5]
Ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда.
Задание 2
Исследуйте сходимость числового ряда, применив для этого подходящий признак сходимости.
[pic 6]
Решение:
a)
[pic 7]
Для иследования сходимости даннного ряда используем признак Д’Аламбера:
Если знакоположительный ряд и то при [pic 8][pic 9]
1) ряд сходится; 2) ряд расходится; 3) необходимы дополнительные исследования.[pic 10][pic 11][pic 12]
Так как
[pic 13]
Следовательно,
[pic 14]
Значит, исследуемый ряд расходится.
б)
[pic 15]
Для иследования сходимости даннного ряда используем интегральный признак Коши: если члены знакоположительного ряда монотонно убывают и функция непрерывная при такова, что , то ряд и несобственный интеграл одновременно либо сходятся, либо расходятся.[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
Так как
[pic 22]
Эта функция удовлетворяет всем условиям интегрального признака Коши.
Вычислим
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
Очевидно, что
[pic 27]
Рассмотрим . Для его вычисления используем правило Лопиталя:[pic 28]
[pic 29]
Таким образом ,
[pic 30]
Значит исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
в)
[pic 31]
Для иследования сходимости даннного ряда используем радикальный признак Коши: если знакоположительный ряд и если существует предел
, то при 1) ряд сходится; 2) ряд расходится; [pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]
3) необходимы дополнительные исследования.[pic 36]
Так как
[pic 37]
Имеем
[pic 38]
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
Задание 3
Исследуйте сходимость знакочередующегося ряда.
[pic 39]
Решение:
Поскольку для исходного знакочередующегося ряда выполнен признак Лейбница:
1)
[pic 40]
2)
[pic 41]
Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда
[pic 42]
Так как при [pic 43]
[pic 44]
.[pic 45]
Это значит, что ряд сходится условно.
Задание 4
Найдите интервал и область сходимости степенного ряда. Укажите, какими свойствами обладает сумма этого ряда в интервале сходимости.
[pic 46]
Решение:
Найдем радиус сходимости ряда по формуле:
[pic 47]
Так как, то[pic 48][pic 49]
[pic 50]
Следовательно, интервал сxодимости ряда определяется неравенством
[pic 51]
Иследуем поведение ряда на границах этого интервала.
При [pic 52]
[pic 53]
Исследуем его сходимость с помощью признака Д’Аламбера:
[pic 54]
Таким образом , данный ряд сходится. Следовательно, точку нужно присоединить к интервалу сходимости.[pic 55]
...