Развертка поверхностей

Лекция №11

Развертка поверхностей.

Основные понятия и определения. Развертка поверхности многогранника. Развертка кривой развертывающейся поверхности. Условная развертка неразвертывающейся поверхности.

11.1. Основные понятия и определения

       Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении всех точек поверхности с плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга), если представить поверхность в виде тонкой, гибкой, но нерастяжимой пленки. При этом,  если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.

Основные свойства развертки.

1. Длины двух соответствующих линий на поверхности и ее развертке равны между собой.
2. Угол между двумя линиями на поверхности равен углу между соответствующими линиями на развертке.
3. Площадь некоторой замкнутой фигуры на поверхности равна площади соответствующей ей фигуры на развертке.

11.2. Развертка поверхности многогранника

           Разверткой многогранника называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней многогранника с плоскостью без наложения граней одна на другую.

Так как все грани многогранника изображаются на развертке в натуральную величину, построение развертки сводится к определению натуральной величины отдельных граней многогранника – плоских многоугольников.

Существует три способа построения развертки многогранных поверхностей.

    1. Способ триангуляции: разбивка поверхностей на части, представляющие собой треугольники в общем случае криволинейные. Данный способ наиболее чаще остальных используется в инженерной практике.

    2. Способ нормального сечения.

    3. Способ раскатки.

Задача 11.1.  Построить  развертку  поверхности пирамиды (АВСD) (рис. 11.1).

Разверткой поверхности пирамиды будет плоская фигура, состоящая из треугольников – боковых граней пирамиды и многоугольника (треугольника) - основания.

Алгоритм построения.

1. Определить натуральные величины ребер пирамиды одним из способов преобразования чертежа (способом вращения вокруг проецирующей прямой).
2. Построить грань пирамиды - треугольник АВD по трем сторонам, затем “пристроить” к нему следующую грань - ВСD и т.д. Достроив основание пирамиды (АВС), получим развертку полной поверхности пирамиды (рис.11.2).

[pic 1]

Задача 11.2. Построить развертку поверхности призмы ([pic 2]) (рис. 11.3).

Разверткой поверхности призмы будет плоская фигура, состоящая из трех параллелограммов – боковых граней пирамиды и многоугольников (двух треугольников) - оснований.

Алгоритм построения.

1. Определить натуральные величины ребер призмы одним из способов преобразования чертежа (способом вращения вокруг проецирующей прямой).
2. Построить развертку боковой поверхности призмы:

      - разбить грань призмы [pic 4] прямой [pic 5] на два треугольника [pic 6] и [pic 7] - треугольник АВD.

      - построить развертку треугольника [pic 8], затем «пристраиваем» к нему [pic 9]. Далее, к построенной грани [pic 10] “пристраиваем” следующую грань - [pic 11] и т.д.