Практическое задание по "Математике"

МОСКВА 2025

Практическое занятие 4

1. Найти общее решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения y’’ - 6 y’ + 25 y = 0

Решение:

1. Составим характеристическое уравнение

Для дифференциального уравнения второго порядка вида:
y’’ + py’ + qy = 0

Характеристическое уравнение имеет вид:
r² + pr + q = 0

В нашем случае p = -6, q = 25, поэтому:
r² - 6r + 25 = 0

1. Найдем корни характеристического уравнения

Используем формулу для квадратного уравнения:
r = (6 ± √(36 - 100))/2 = (6 ± √(-64))/2 = (6 ± 8i)/2 = 3 ± 4i

Таким образом, получаем комплексно-сопряженные корни:
r₁ = 3 + 4i
r₂ = 3 - 4i

1. Запишем общее решение

Так как корни характеристического уравнения комплексные, то общее решение имеет вид:
y = e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx))

где α - действительная часть корней (3),
β - модуль мнимой части корней (4),
C₁, C₂ - произвольные постоянные.

   Ответ:  общее решение данного дифференциального уравнения:
y = e^(3x)(C₁cos(4x) + C₂sin(4x))

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(4) = 1: y'= - (y/x)

Решение:

1. Преобразуем уравнение

Разделим переменные:
dy/y = -dx/x

1. Интегрируем обе части

∫(dy/y) = -∫(dx/x)

ln|y| = -ln|x| + C₁

Используем свойство логарифмов:
ln|y| = ln(1/|x|) + C₁ = ln(C/|x|)

где C = e^(C₁) - новая константа интегрирования

1. Выражаем y

|y| = C/|x|

Т.к. нет необходимости рассматривать отрицательные значения x (так как x = 4 > 0), и неизвестен знак y, то:
y = C/x

1. Определим константу C из начального условия

y(4) = 1, подставим:
1 = C/4

Отсюда:
C = 4

1. Запишем частное решение

y = 4/x