Необходимое условие сходимости рядов

Необходимое условие сходимости рядов

Основная статья: Необходимое условие сходимости рядов

Если с ростом n n предел члена ряда lim n → ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}} не существует или не равен нулю, то ряд расходится[1].

Следовательно, условие lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} необходимо (но не достаточно) для сходимости ряда. Другими словами, если это условие не выполнено, то ряд заведомо расходится, однако если оно выполнено, то нет гарантии, что ряд сходится — см., например, гармонический ряд.

Основные признаки сходимости

См. также: Категория:Признаки сходимости

Ряды с неотрицательными членами

Ряды с неотрицательными членами называют также знакоположительными[2] или просто положительными[3].

Критерий сходимости знакоположительных рядов

Основная статья: Критерий сходимости знакоположительных рядов

Знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ a k \sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k} сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм S n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} ограничена сверху[4].

Признак сравнения с мажорантой

Основная статья: Признак сравнения

Заключение о сходимости или расходимости ряда можно сделать на основании почленного сравнения его с другим рядом («мажорантой»), поведение которого уже известно[4].

Пусть даны два знакоположительных ряда: ∑ n = 1 ∞ a n \sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n} и ∑ n = 1 ∞ b n \sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}. Если, начиная с некоторого номера ( n > N n>N), выполняется неравенство: 0 ⩽ a n ⩽ b n 0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}, то[5]:

из сходимости ряда ∑ n = 1 ∞ b n \sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n} следует сходимость ряда ∑ n = 1 ∞ a n \sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n};

из расходимости ряда ∑ n = 1 ∞ a n \sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n} следует расходимость и ряда ∑ n = 1 ∞ b n \sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}.

Следствие для рядов с членами произвольного знака:

Если ряд ∑ n = 1 ∞ b n \sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n} абсолютно сходится и начиная с некоторого номера все | a n | ⩽ | b n | {\displaystyle |a_{n}|\leqslant |b_{n}|}, то и ряд ∑ n = 1 ∞ a n \sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n} сходится абсолютно.

Пример[6]. Докажем сходимость ряда обратных квадратов:

1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + … {\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots }

Для него рядом-мажорантой можно выбрать ряд:

1 + 1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 4 + 1 4 ⋅ 5 + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\cdots }

Частичную сумму этого ряда можно представить в виде:

S n = 1 + ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯ + ( 1 n − 1 − 1 n ) = 2 − 1 n {\displaystyle S_{n}=1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \ +\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)=2-{1 \over n}}

Поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, по признаку сравнения, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1,2)}.

Признак Раабе

Основная статья: Признак Раабе

Этот признак сильнее, чем признак Даламбера и радикальный признак Коши[7].

Если для ряда ∑ n = 1 ∞ a n \sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n} существует предел:

R = lim n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) , {\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right),}

то при R > 1 R>1 ряд сходится, а при R < 1 R<1 — расходится. Если R = 1 R=1, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда[8].

Интегральный признак Коши — Маклорена