Область и интервал сходимости степенного ряда

Область и интервал сходимости степенного ряда.

Теорема 1.(т.Абеля)

1.Если ряд сходится при х0=х=0 => сходится и при всех х причём абсолютно для кот.выполн. нер-во IхI0I.[pic 1]

2.Если ряд расходится при х0=х=0 расходится и при всех х если IxI>Ix1I[pic 2]

Док-во:

Докажем утверждение 1.

Пусть ряд (1) сходится при х=х0, т.еanx0nсход. числовой ряд.[pic 3]

По необходимому признаку общий член этого ряда ->0 при n->∞ => сущ. М>0при кот. Ianx0nI

РассмотримрядIanx0nI=Ia0I+Ia1x0I+…+Ianx0nI+…[pic 4]

Представим члены ряда (1) след.образом:anxn= an**x0n=an*x0n*)^n[pic 5][pic 6]

Для иследования абсолютной сходимости ряда (1) составим ряд из его абсолютных величин и преобразуем члены этого ряда указанным выше способом:

Ianx0nI=Ia0x0nI*Ix/x0In=Ia0I+Ia1x0I*Ix/x0I+Ia2x02I*I(x/x0)2I+….[pic 7][pic 8]

+Ianx0nI*I(x/x0)nI+…<M*Ix/x0In=M*qn[pic 9][pic 10]

ПустьIxI0I=>Ix/x0I<1

Ix/x0I=q<1

Подставим в это выражение.

Если сход.мажорирующий ряд, то по первому признаку сравнения сход. и ряд (1) причём абсолютно.

2.б/д

Замечание 1.

Из т. Абеля => что если ряд (1) сходится при x=x0, то он сходится при всех х принадлежащих интервалу (-Ix0I;Ix0I).

Опр.1

Число R>=0назыв. Радиусом сходимости степенного ряда (1) если ряд (1) сходится при всех х e (-R;R) и расходится при всех xe (-∞;-R); (R;+∞)

(-R;R)-называют интервалом сходимости. Для определения радиуса сходимости исп. признак Даламбера.

Замечание 2.

Если в рез-те вычислений получим R=0 =>ряд сходится при x=0

R=+∞ =>интервал сходимости совпадает с мн-ом вещественных чисел

 (-∞;+∞)-сход.

Замечание3.

Теорема Абеля и признак Даламбера не исследуют границы интервала сходимости, поэтому необх-мо доп. Исследовать сходимость ряда (1) при

 х=-+R

Понятие функционального и степенного ряда.

Опр1.

Функциональным рядом назыв. Ряд, числами кот.явл. фун-ии, опред. в некот. обл-ти D.

Un(x)=U1(x)+….Un(x), x e D c R[pic 11]

При конкретных значениях переменной х будем получать числовые ряды, кот. могут как сход., так и расход.

Опр2.

Мн-во всех значений х для кот.фун-ий ряд сходится назыв. областью сходимости.D` cD

Если фун-ий ряд сход., то его сумма будет явл. некот. фун-ей переменной х.

S(x)=Un(x), x e D`[pic 12]

Опр3.

Частичной суммой функц. Ряда назыв. фун-июSn(x)=U1(x)+….Un(x).Тогда S(x) можно представить, как Sn(x)+Rn(x), где Rn(x)=Un+1(x)+….Un+k(x)+… назыв. остатком ряда.

Опр4.

Фун-ий ряд вида an*(x-x0)nназыв. степенным рядом.[pic 13]

an(x-x0)n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+….+an(x-x0)n[pic 14]

При этом числа a0, a1, an… назыв. коэф-ми степенного ряда.

X0-центр ряда

В частности при x=0 получим степенной ряд anxn[pic 15]