Наглядные свойства многообразий малой размерности

Содержание

Содержание        2

Введение        3

1. Основные понятия и определения        5

1.1 Понятие многообразия и гомеоморфизма в топологии

2.1. Понятие края многообразия

2. Некоторые наглядные свойства двумерных многообразий        8

3. Некоторые наглядные свойства трехмерных многообразий        31

Заключение        39

Список источников        40

 Введение

На протяжении долгого времени люди считали Землю плоской. Тогда это казалось довольно очевидным, поскольку любой наблюдающий мог видеть поверхность земли как плоскость, простирающуюся до горизонта. В наше время мы понимаем, в чем причина таких ошибочных заключений: даже с высоты нескольких тысяч метров небольшая часть земной поверхности, имеющей приближенно сферическую форму, выглядит как небольшой участок плоскости. И только совершив полет в космос, человечество убедилось в сферической форме нашей планеты. Однако, в наше время перед наукой стоят более трудные задачи. Изучая Вселенную, ученые столкнулись с похожей проблемой - с такой же ситуацией мы сталкиваемся при попытках описать форму Вселенной в целом на основании наблюдений ограниченной ее части, видимой из нашей точки пространства. Сохраняет ли Вселенная на всем бесконечном протяжении геометрическую структуру евклидова пространства? Современные достижения науки и техники не могут дать однозначный ответ на этот вопрос. Поэтому, чтобы без предубеждения изучать структуру Вселенной в целом, нужно начать с изучения более простых форм, таких как двумерные и трехмерные многообразия.

Многообразие - геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений понятия линии и поверхности.

Исследования многообразий были начаты во второй половине XIX века, они естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории групп Ли. Общее понятие n-мерного многообразия и его метрику в виде произвольной положительно определённой квадратичной формы ввёл Бернхард Риман. Феликс Клейн рассмотрел важнейшее понятие изоморфизма (структурного тождества), который называл «перенесением». Камилл Жордан опубликовал ряд работ по аналитической геометрии n-мерного пространства (кривых и поверхностей). В конце века зарождается наука топология. Тем не менее, первые точные определения были сделаны только в 30-х годах XX века. Немалый вклад в изучение многообразий внес известный российский математик и художник Анатолий Фоменко. В своих произведениях он опирается на математические концепции, визуализируя их часто довольно парадоксальным образом. Первый опыт иллюстрации он получил, оформляя книгу "Гомотопическая топология". В 1990 году Американское Математическое Общество издало альбом «Mathematical Impressions», включающую 84 работы Фоменко (из которых 23 выполнены в цвете) с пояснениями и комментариями. В данной работе использован труд данного автора.

Цель работы – изучить наглядные свойства многообразий малой размерности.

Задачи работы:

1. Изучить основные определения темы (многообразие, размерность).

2. Рассмотреть некоторые наглядные свойства двумерных многообразий.

3. Рассмотреть некоторые наглядные свойства трехмерных многообразий.

1. Основные понятия и определения

Базовым понятием при изучении многообразий малой размерности является само понятие многообразия. Точки, линии и поверхности — все это примеры многообразий. Пусть n — неотрицательное целое число. Через [pic 1] будем обозначать замкнутое полупространство в евклидовом n-мерном пространстве, состоящее из точек, первая координата которых неотрицательна (рис.1):