Интегральный функционал

Лекция 1.

1. Интегральный функционал

            Интегральный функционал, его дифференциал, или вариация, его стационарная точка и точка экстремума суть исходные понятия вариационного исчисления.

            Простейший интегральный функционал представляет собой отображение вида

,[pic 1]

где  – заданная на множестве  функция, ее выбор и определяет интегральный функционал. Аргументом функционала  является функция: , а значения – вещественные числа. В приложениях функция  нередко бывает задана лишь на некотором подмножестве  множества .[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

            Термин функционал обычно применяется для наименования отображений, принимающих, так же, как и функции, числовые значения. В вариационном исчислении его применяют потому, что термин функция занят для обозначения аргументов функционала.

            Множество всех непрерывных на отрезке  функций будет обозначаться , а подмножество этого множества, образованное непрерывно дифференцируемыми функциями -- . Множество  функций, на которых определен интегральный функционал , называется областью определения функционала. Если предположить, что (x,y,z) непрерывна по совокупности переменных всюду на , тогда в качестве области определения  можно взять множество . В таком случае говорят, что  – интегральный функционал на множестве . Поскольку функция , где , есть непрерывная функция на  интеграл  определен как интеграл по промежутку  от непрерывной функции.[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

            Развитее вариационного исчисления началось с отыскания точек минимума и точек максимума интегрального функционала  (собирательно – точек экстремума), т. е. таких функций , на которых функционал принимает наименьшее и наибольшее значения.[pic 24][pic 25]

            Пусть , где  – заданные функции. Тогда функционал  имеет вид [pic 26][pic 27][pic 28]

.[pic 29]

Этот функционал обладает свойством линейности:

,[pic 30]

здесь . В силу свойства линейности эти функционалы не имеют наименьшего и наибольшего значений. Для типичных интегральных функционалов вариационного исчисления характерна нелинейность по второму и третьему аргументу. Рассмотрим несколько примеров.[pic 31]

            Пример 1. Пусть , тогда . Этот линейный функционал носит название определенного интеграла от функции  по промежутку . В силу линейности он не имеет экстремальных точек.[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

            Пример 2. Пусть , тогда[pic 36]

.[pic 37]

Значение этого функционала  на функции  есть длина графика этой функции. Наименьшее значение этого функционала достигается на любой постоянной функции и равно . [pic 38][pic 39][pic 40]

            Выделим из множества  подмножество функций, граничные точки графиков которых заданы равенствами , и ограничим функционал на это подмножество. Он будет иметь на нем наименьшее значение, равное расстоянию между точками  и  на плоскости . Это значение реализуется на функции [pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

.[pic 46]

1. Простейший тип задач вариационного исчисления

                 Познакомимся вначале с двумя простыми, но важными задачами вариационного исчисления. Первая известна как задача о брахистохроне, предложенная в 1696 г. Иоганном Бернулли и сыгравшая большую роль в развитии вариационного исчисления. Это задача привела к появлению ряда подобных задач и создала основу для их систематизации и развития общих методов исследования. Эти исследования связаны, прежде всего, с именами Эйлера и Лагранжа, предложившими общие методы.

               Наряду с задачей о брахистохроне будет рассмотрена задача о минимизации площади поверхности вращения, а затем описан простейший тип задач вариационного исчисления, включающий обе рассмотренные задачи. Отметим: хотя область применения вариационного исчисления чрезвычайно обширна, приведенные примеры показывают, что наиболее важные задачи носят геометрический или физический характер.