Задача о брахистохроне

Л Е К Ц И Я  1-3  ЗАДАЧА О БРАХИСТОХРОНЕ. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОГО МИНИМУМА. ЛЕММА ЛАГРАНЖА. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА

Задача о брахистохроне. В 1696 г. всем математикам мира И. Бернулли предложил следующую задачу. В вертикальной плоскости даны две точки – А и В, расположенные на разных уровнях. Требуется соединить их такой гладкой линией, двигаясь по которой, тело под действием собственной тяжести пройдет путь от А до В за кратчайшее время.

Говорят, что решение данной задачи было дано самим И. Бернулли, Г.В. Лейбницем, Я. Бернулли и еще одним автором без подписи. Позже выяснилось, что решение без подписи дал И. Ньютон.

Пусть выбранная система координат имеет начало в точке А(0, 0), ось x направлена горизонтально, ось у – вертикально вниз и точка А находится выше точки [pic 1]. Пусть [pic 2] – некоторая точка на искомой кривой y=y(x), проходящая через точки А и В. Поскольку трение отсутствует, то сумма кинетической Т и потенциальной П энергии постоянна в любой точке кривой  [pic 3] [pic 4]. Так как в точке А тело находится в покое, то [pic 5], а в точке Μ сумма [pic 6]. Отсюда определим скорость в точке М, равную [pic 7]. Поскольку мгновенная скорость [pic 8][pic 9], то [pic 10] [pic 11]. Следовательно, [pic 12].

Отсюда имеем

[pic 13]                             (1)

Формула (1) определяет время движения тела по любой кривой [pic 14] [pic 15], проходящей через точки А и В. [pic 16]

Заметим, что функция [pic 17], множество [pic 18], а сама задача запишется так:

[pic 19]           (2)[pic 20]

Простейшая задача. Обобщением задачи (2) является следующая простейшая задача. Минимизировать функционал

[pic 21]                            (3)

на множестве[pic 22]

[pic 23].              (4)[pic 24]

        Заметим, что если х, t заменить на у, x соответственно и [pic 25] то из (3), (4) следует задача (2). Вводя обозначения [pic 26] где [pic 27] – непрерывная функция, задачу (3), (4) можно записать в виде

[pic 28].          (5)

Определение 1. Говорят, что функция [pic 29] доставляет сильный локальный минимум функционалу [pic 30] в задаче (5) (или (3), (4)), если найдется число [pic 31], такое, что для любой допустимой функции [pic 32], для которой [pic 33] выполняется неравенство [pic 34], где [pic 35][pic 36]

Определение 2. Говорят, что функция [pic 37] доставляет слабый локальный минимум функционалу [pic 38] в задаче (5) (или (3), (4)), если найдется число ε > 0, такое, что для любой допустимой функции [pic 39], для которой

[pic 40]           (6)

выполняется неравенство [pic 41].

Заметим, что в определении 1 сравнивается значение функционала [pic 42] со значением [pic 43] на множестве допустимых функций, расположенных в ε-окрестности [pic 44] для каждого [pic 45], а в определении 2 такое сравнение осуществляется на множестве допустимых функций, у которых x(t) и [pic 46] находятся в ε-окрестности для каждого t, [pic 47] соответственно [pic 48] и [pic 49]. Поэтому необходимые условия слабого локального минимума в точке [pic 50] будут необходимыми условиями сильного локального минимума. С другой стороны, если в точке [pic 51] достигается сильный локальный минимум, то на ней будет достигаться и слабый локальный минимум, так как условие [pic 52] [pic 53], [pic 54] в частности, выполняется и для тех [pic 55], для которых [pic 56] Обратное утверждение неверно.