Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности
Автор: Виктория Репнякова • Декабрь 7, 2021 • Реферат • 4,882 Слов (20 Страниц) • 187 Просмотры
Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности
Последовательность [pic 1], имеющая предел, равный нулю, называется бесконечно малой последовательностью.
Таким образом, из определения предела следует, что величина [pic 2] есть бесконечно малая, когда [pic 3].
Теорема 4.2.1. Для того, чтобы переменная [pic 4] имела предел, равный а, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство [pic 5], где [pic 6] есть бесконечно малая. (Докажите ее самостоятельно.)
Последовательность [pic 7] называется бесконечно большой, если
[pic 8] | (4.2.1) |
При этом пишут: [pic 9] или [pic 10] и говорят, что [pic 11] стремится к бесконечности.
Если бесконечно большая величина [pic 12], начиная с некоторого [pic 13], принимает только положительные или только отрицательные значения, то пишут
[pic 14] или [pic 15] | (4.2.2) |
[pic 16] или [pic 17] | (4.2.3) |
Пример переменной [pic 18] показывает, что может иметь место соотношение (4.2.1), в то время как не имеет места ни (4.2.2), ни (4.2.3).
Отметим следующие очевидные свойства:
1) если переменная [pic 19] ограничена, а [pic 20] - бесконечная большая, то [pic 21];
2) если абсолютная величина [pic 22] ограничена снизу положительным числом, а [pic 23] - не равная нулю бесконечно малая, то [pic 24].
Докажем только второе свойство. Дано, что для некоторого числа [pic 25] имеет место неравенство [pic 26], и для всякого [pic 27] существует [pic 28]:
[pic 29]. | (4.2.4) |
Тогда [pic 30].
Зададим произвольное [pic 31] и подберем по нему [pic 32] так, чтобы [pic 33], а по [pic 34] подберем такое [pic 35], чтобы имело место свойство (4.2.4). Тогда [pic 36], что и требовалось доказать.
Из этих двух утверждений следует: [pic 37], [pic 38] ([pic 39]).
Замечания:
1) если последовательность [pic 40] неограничена, то она не обязательно бесконечно большая. Например: [pic 41] не ограничена, но в ней имеются сколь угодно малые члены со сколь угодно большим нечетным номером.
Любая не равная нулю постоянная не является бесконечно малой. Из всех постоянных величин бесконечно малой является только одна – равная нулю.
Теорема 4.2.2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.
Запишем формулировку теоремы в символах. Если [pic 42] и [pic 43]N, то [pic 44].
Доказательство:
Зададим [pic 45] и подберем по нему [pic 46] так, чтобы выполнялось неравенство [pic 47]. Тогда [pic 48]
[pic 49], что и доказывает теорему.
Монотонная последовательность
Определение 4.3.1. Последовательность[pic 50] называется возрастающей, если [pic 51]N [pic 52].
Последовательность [pic 53] называется убывающей, если [pic 54]N [pic 55].
Последовательность [pic 56] называется невозрастающей, если [pic 57]N [pic 58].
Последовательность [pic 59] называется неубывающей, если [pic 60]N [pic 61].
Все эти последовательности называются монотонными, а две первые – строго монотонными.
Теорема 4.3.1. Если последовательность действительных чисел [pic 62] не убывает и ограничена сверху числом [pic 63], то существует действительное число a, не превышающее M, к которому эта последовательность стремится как к своему пределу: [pic 64]. Для невозрастающей и ограниченной снизу числом M последовательности действительных чисел [pic 65] существует действительное число a, такое, что [pic 66].
...