Геометрії Евкліда

У геометрії Евкліда, як і в гіперболічній геометрії Бойаи - Лобачевского, мовчазно допускається, що всяка пряма нескінченна (нескінченність прямої істотно пов'язана з відношенням "бути між" і аксіомами порядку). Але після того, як гіперболічна геометрія відкрила шлях до вільної побудови геометрії, природно виникло питання про те, чи не можна здійснити побудову такої геометрії НеЕвкліда, в якій прямі лінії кінцеві і замкнуті. Зрозуміло, в такій геометрії втрачають силу не лише постулат про паралельних, але і аксіоми порядку. Сучасні дослідження з'ясували значення цієї геометрії для новітніх фізичних теорій. Уперше така геометрія була піддана розгляду в мові, вимовленій в 1851 р. Риманом при вступі його на посаду приват-доцента Геттингенського університету. Геометрія із замкнутими кінцевими прямими може бути побудована без яких би то не було протиріч Уявимо двовимірний світ, що складається з поверхні S сфери, причому під "прямими" умовимосярозуміти великі круги сфери. Це був би найприродніший спосіб описувати "світ" мореплавця : дуги великих кругів є найкоротшими кривими, що зв'язують дві точки на сфері, а це якраз і є характеристична властивість прямих на площині. У даному двовимірному світі всякі дві "прямі" перетинаються, так що із зовнішньої точки не можна провести жодної "прямої", що не перетинається з даною (т. е. їй паралельною). Геометрія "прямих" у цьому світі називається еліптичною геометрією. Відстань між двома точками в такій геометрії вимірюється просто як довжина найкоротшої дуги великого круга, що проходить через ці точки. Кути вимірюються так само як і в геометрії Евкліда. Найхарактернішою властивістю еліптичної геометрії ми вважаємо неіснування паралельних.

Наслідуючи Риману, ми можемо узагальнити цю геометрію таким чином. Розглянемо "світ", що складається з деякої кривої поверхні в просторі (не обов'язково сфери) і визначимо "пряму лінію", що проходить через дві точки, як найкоротша крива ("геодезичну"), що сполучає ці точки. Точки поверхні можна розбити на два класи: 1°. Точки, в околиці яких поверхня подібна до сфери в тому відношенні, що вона уся лежить по одну сторону від дотичної площини в цій точці. 2°. Точки, в околиці яких поверхня сідлоподібна (лежить по обидві сторони дотичної площини). Точки першого класу називаються еліптичними точками поверхні - з тієї причини, що при невеликому паралельному переміщенні дотичної площини вона перетне поверхню по кривій, що має вигляд еліпса; точки ж другого класу носять назву гіперболічних, оскільки при аналогічному переміщенні дотичної площини виходить перетин з поверхнею, що нагадує гіперболу. Геометрія геодезичних "прямих у околиці точки поверхні є еліптичною або гіперболічною, дивлячись по тому, чи буде сама точка еліптичною або гіперболічною. На цій моделі геометрії НеЕвкліда кути вимірюються, як в звичайній геометрії Евкліда.