Система аксіом евклідової геометрії Д.Гільберта та наслідки з неї

7. Система аксіом  евклідової геометрії Д.Гільберта та наслідки з неї.

Вперше аксіоматичне обгрунтування геометрії Евкліда було здійснено в 1899 році видатним німецьким математиком Д.Гільбертом (1862-1943). Трохи пізніше з’явились інші аксіоматики — Пеано, Кагана, Шура та ін.

Аксіоматика гільберта містить 20 аксіом, які описують три основні поняття (точка, пряма, площина) і п’ять основних відношень: Г1 (належність точки прямій), Г2 (належність точки площині), Г3 ("лежати між" для трьох точок однієї прямої), Г4 (конгруентність одного відрізка другому), Г5 (конгруентність кута куту).

Система аксіом Гільберта складається з 5 груп, які описують відношення основними об’єктами.

        Містить п'ять груп аксіом:

1. Аксіоми належності.

2. Аксіоми порядку.

1. Аксіоми конгруентності.

1. Аксіоми неперервності.
2. Аксіома паралельності.

1. Аксіоми належності

1. Для будь-яких двох точок А і В існує пряма а, яка належить кожній з цих двох точок.
2. Для двох точок А і В існує не більше однієї прямої, яка належить кожній з точок А, В.
3. На прямій існують принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, що не лежать на одній прямій.
4. Для будь яких-точок А, В, С, що не лежать на одній прямій, існує площина α, що належить кожній з трьох точок А, В, С. Для будь-якої площини завжди існує точка, що належить їй.
5. Для будь-яких трьох точок А, В, С, що не лежать на одній і тій же прямій, існує не більше, ніж одна площина, що належить цим точкам.
6. Якщо дві точки А і В прямої а лежать в площині α, то кожна точка прямої а лежить в площині α.
7. Якщо дві площини α  і  β мають спільну точку А, то вони мають принаймні ще одну спільну точку В.
8. Існують принаймні чотири точки, що не лежать в одній площині.

        Наслідок 1. Дві прямі мають не більше однією спільної точки.

        Наслідок 2. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму, на якій лежать всі спільні точки цих двох площин.

        Наслідок 3. Через пряму і точку, що не лежить на ній, так само як і через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину і тільки одну.

        Наслідок 4. На кожній площині існує три точки, що не лежать на одній прямій.

        2. Аксіоми порядку

1. Якщо точка В лежить між точками А і С, то А, В, С — різні точки і  В лежить між С  і  А.
2. Для будь-яких двох точок А і С на прямій АС існує принаймні одна точка В така, що точка С лежить між А і В.
3. Серед будь-яких трьох точок прямої існує не більше, ніж одна точка, що лежить між двома іншими.
4. Нехай А, В, С — три точки, що не лежать на одній прямій, і а — пряма в площині АВС, що не проходить через жодну з точок А, В, С; якщо при цьому пряма  а  проходить через одну з точок відрізка АВ, то вона повинна пройти через одну з точок відрізка АС чи через одну з точок відрізка ВС. (Аксіома Паша).

        Перша та друга групи аксіом дозволяють ввести такі важливі поняття геометрії, як поняття площини, променя і півпростору

        Наслідок 2.1. Пряма а, що лежить в площині α, розділяє множину точок цієї площини, що не лежать на прямій а, на дві непорожні підмножини так, що якщо точки А і В належать одній підмножині, то відрізок АВ не має спільних точок з прямою а; якщо ж ці точки належать різним підмножинам, то відрізок АВ має спільну точку з прямою а.