Снарядтың ұшу траекториясын модельдеу

                     Снарядтың ұшу траекториясын модельдеу

Артиллериялық снарядтың ұшу заңын анықтау көп ғалымдар үшін қызықты есеп болды. Әсіресе ауыр артиллериядан алыс қашықтыққа атылған снарядтың траекториясына желдің ауаның кедергі және жердің ауырлық күштерінің әсерін білу күрделі есепке жатады. Ньютон және басқа ғалымдар ауаның кедергі күшін еcкеріп снарядттың траекториясын анықтаудың жаңа теориясын берді. Жаңа ғылым – баллистика пайда болды осыған байланысты ракетаның ұшу теориясы дамыды.

  Жерден ұшқан , снарядтың (тастың) траекториясы, ұшу биіктігі және қашықтығы жердің ауырлық және ауаның кедергі күштерімен байланысты күрделі қозғалыс. Ракетаның ұшу траекториясын модельдеу үшін двигательдің сипаттамасын, ракетаның сатылық сипаттамасын, ауаның және бүйір беттен соққан желдің кедергі күшін және ауырлық күшін,т.б сипаттамаларын ескеру қажет. Ракетаның немесе снарядтың математикалық моделін құру үшін жеңілдететін шарттар алайық.

   Ракетаның  жеңілдетілген моделін құрайық. Біріншіден жоғары көтеріліп, жердің бетімен қозғалған ракетаның ұшу қашықтығы  100км  аспасын. Бұл жағдайда жердің беті ұшқан ракетаға байланысты горизанталь жазық болады. Екіншіден, ракетаның барлық траекториясы бір жазықтықта жатсын десек, онда бүйір беттен соққан желдің кедергі күші ескерілмейді.     Ал, маңдайлық, ауаға байланысты кедергі күш туралы Ньютон өзінің атақты Бастамасында (Principia Mathematica) кедергі күш қарапайым физикалық тұжырым бойынша жылдамдықтың квадратына пропорционал болады деген. Ал, эмпирикалық зерттеу негізінде ауаның кедергі күшінің жылдамдықа байланысы әлде қайда күрделі болатынын көқрсетті. Жалпы түрдегі байланысты   түрде қарастырады, мұнда .  Егер  жылдамдық аз болғанда, ал   үлкен жылдамдыққа сай келеді.  – шама дененің мөлшеріне, ауаның тығыздығына және тұтқырлығына байланысты болады. Біздің жағдайда, ауаға байланысты кедергі күш R=c тең дейміз.   [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Мұндағы С – ауаның кедергі коэффициенті (C=0,2), ρ – ауаның тығыздығы (ρ=1,29кг/), S – ракетаның көлденең  қимасының ауданы (S=0,25). Осы екі жеңілдету шарттарын ескеріп, екі өлшемдік (x,y)  координаттар жүйесінде ракетаның бастапқы ұшу старты координаттар өсінің басына келтіріп қарастырайык.                                           [pic 7][pic 8][pic 9]

   және   функциялар ракетаның  уақыттағы  жане  координаттары болады.  Ракетаның  уақыттағы координаттары берілген [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

                       .0                                                           (1)[pic 16]

Уақыт бойынша туындыларды  және  белгілеп және  уақыттағы ракетаның жылдамдық векторын  (t),(t)) анықтайық. Жылдамдық векторды   , ал горизонтпен жасаған бұрышын   белгілесек. Онда бұл шамалар келесі турде табылады. ,[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

                           ).                                    (2) [pic 25]

[pic 26]

                        . Траекторияның жалпы өзгеру қалпы.

Қортқы жылдамдықты ескеріп құраушы жылдамдықтарды жазамыз

,[pic 27]

                                    3)          [pic 28]

Біздің жағдайда негізгі математикалық модельдің траекториясы Ньютонның екінші заңынан шығады

(m)=.                                                  (4)[pic 29][pic 30][pic 31]

Мұнда  ракетаның массасы, ракетаға әсер ететін қортқы күш. Қортқы күш үш күштердің нәтижесімен анықталады. Двигательдің тарту күші, ауаның кедергі және гравитациялық  күштерден  тұрады. Осыдан (2.3.4) теңдеуді   және    айнымалылар арқылы жазып двигательдің тарту күші ( және ауаның маңдайлық кедергі күші   ракетаның бойымен әсер еткендіктен және  қортқы күшті   деп алып, бір түзудің бойында жатқандықтан . Ал ауаның кедергі күші тәжрибенің негізінде келесі формуламен анықталады[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]