Планування експерименту. Регресійний аналіз

Практична робота № 5

Планування експерименту. Регресійний аналіз

Мета: ознайомитися з методами планування експерименту. За допомогою регресійного аналізу знайти за результатами експерименту зв'язок між вихідною характеристикою (відгуком) та чинниками, що на неї (нього) впливають.

Забезпечення: пакет програм MathCAD, дані експерименту.

ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ

Регресійний аналіз

Регресійний аналіз служить для знаходження за результатами експерименту зв'язку між вихідною характеристикою пристрою (процесу) та чинниками, які впливають на цю характеристику.

В якості вихідної характеристики можна прийняти точність схеми, надійність, ефективність, показники якості одержуваного матеріалу, продукту та ін.

Чинниками є змінні, які мають істотний вплив на вихідну характеристику, це можуть бути: номінал і розкид параметрів елементів, ступінь резервування елементів в схемі, величина схемно-конструктивних запасів, параметри живлення і перешкод, а також зовнішні умови — температура, вологість, механічні навантаження, співвідношення компонентів при отриманні матеріалів і речовин та ін.

Математичне формулювання задачі регресійного аналізу наступне. Необхідно знайти залежність:

[pic 1]

де Y — вихідна характеристика, а [pic 2] — значення параметрів чинників.

Значення Y і X вимірюють в процесі експерименту, тому при аналізі вони вже відомі. Проте вид їхньої функції зв'язку (модель) до експерименту не відомий і повинен бути знайдений за дослідними даними. При цьому мається на увазі, що на те, яке значення прийме Y, впливають не тільки значення [pic 3], а також ряд шкідливих некерованих чинників, до яких відносяться похибки вимірювання, неконтрольовані зміни навколишнього середовища та ін. Тому навіть при фіксованих значеннях X функція [pic 4] може поводитися випадковим чином, у зв'язку з чим ставиться задача знаходження її математичного очікування і дисперсії або довірчих інтервалів.[pic 5]

Оскільки вид функції Y наперед не відомий, її вибирають у вигляді полінома, вірніше, відрізка полінома, вибір якого залежить від передбачуваного характеру залежності та необхідної точності її визначення.

Математичне очікування функції представляють у вигляді:

[pic 6]

При цьому

[pic 7]

де [pic 8] — коефіцієнти регресії.

За результатами експерименту можна знайти тільки вибіркові значення X і Y, тобто, наприклад, їх точкові оцінки — [pic 9]. Тоді рівняння регресії прийме вигляд:

[pic 10]

Задачею регресивного аналізу є вибір виду функції Y (тобто виду відрізка полінома) і оцінка коефіцієнтів регресії. Вид функції повинен бути по можливості простий, але в той же час повинен достатньо добре відображати реальну залежність. Вибір виду базується на фізичних передумовах, матеріалах розв’язання аналогічних задач і т.д. Вибраний вид функції в процесі регресивного аналізу перевіряється за відповідними критеріями і при необхідності може бути уточнений.

Дуже часто залежність М(Y) від X можна прийняти лінійною (лінійна модель):

[pic 11]

Для спрощення способів знаходження коефіцієнтів регресії важливо прийняти наступні допущення.

1. Результати спостережень [pic 12] (де п — число спостережень за величиною Y) є незалежними, нормально розподіленими випадковими величинами.

1. Дисперсії [pic 13] рівні одна одній або пропорційні якійсь відомій функції Ф(Y).
2. Змінні [pic 14] є незалежними і вимірюються із похибкою, зневажливо малою в порівнянні з величиною [pic 15].

Методи обчислення коефіцієнтів регресії порівняно складні та базуються, зазвичай, на апараті матричного обчислення; при цьому в найгроміздкіших випадках використовуються стандартні програми на ПК.