Методы финансово-математических расчетов сложных процентов

Лекция № 3. Методы финансово-математических расчетов сложных процентов

Вопросы:

1. Наращение по сложным процентам:

1.  Внутригодовые процентные начисления;
2.  Начисление процентов за дробное число лет;
3.  Непрерывное начисление процентов.

2. Эффективная годовая процентная ставка.

3.        Соотношение простых и сложных процентных ставок. Преимущества их применения.

№ 1        Наращение по сложным процентам

С экономической точки зрения процент (процентные деньги) представляет собой плату за использование денежными средствами одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком или дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.

Как уже было сказано, проценты могут начисляться как по методике простых процентов, так и по методике сложных процентов.

При этом считается, что инвестиция осуществлена на условиях сложных процентов, если очередной годовой доход начисляется не с исходной величины инвестируемого капитала, а с общей суммы, включающей ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты.

В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, то есть база, с которой начисляются проценты, все время возрастает.

Следовательно, проценты начисляются на проценты, и размер инвестиционного капитала будет равен:  

к концу первого года: FV1=P + Pi =P*(1 + i),                               (3.1)

к концу второго года: FV2 =F1 + F1i =P* (1+i)2,                           (3.2)

к концу n -го года: FVn = P * (1 + i)n,                                           (3.3)

где (1+i)n – коэффициент наращения или мультиплицирующий множитель для единичного платежа.

Экономический смысл мультиплицирующего множителя указывает на то, чему будет равна одна денежная единица через n периодов при заданной процентной ставке I, то есть он оценивает будущую стоимость одной денежной единицы.

1.1  Внутригодовые процентные начисления

В практике выплаты доходов на вложенный капитал нередко оговариваются с учетом внутригодового начисления процентов.  

Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год.

В зависимости от количества выплат дохода в год (m) внутригодовое начисление может быть:

1) полугодовым (m =2);

2) поквартальным (m =4);

3) ежемесячным (m =12);

4) ежедневным (m =365 или 366);

5) ежечасным (m =8760);

5) непрерывным (m → ∞).

В первых четырех случаях расчет наращенной суммы S ведется по формуле сложных процентов по интервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки:

                                                          (3.4)                                                            

где  P – первоначально вложенный капитал;

       m – количество начислений в году;

       n  – количество лет начисления;

i –  годовая процентная ставка.

При этом обязательно соответствие между процентной ставкой и продолжительностью базисного периода.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что:

1) при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентно одному проценту в месяц;

2) чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма; так при наращении по сложным процентам ежеквартальное начисление доставляет большой результат, чем ежегодное.