Изучение резонанса для гармонического осциллятора

Изучение резонанса для гармонического осциллятора

Для данной задачи рассмотрим одномерное движение материальной точки под действием упругой силы зависящей от времени, при наличии и отсутствии диссипации(«диссипация» - рассеивание, диссипация энергии — переход части энергии упорядоченных процессов в энергию неупорядоченных процессов). Итоговое уравнение движения можно записать в виде

                                             (1)[pic 1]

где f(t) – внешняя сила.

Для решения данного уравнения сперва надо обозначить фундаментальные решения однородной системы через  и , где f(t) = 0. Из этого следует общее решение[pic 2][pic 3]

[pic 4]

Применяя метод вариации постоянных, т.е. предполагая, что константы  и  зависят от времени, можем найти решение уравнения (1).[pic 5][pic 6]

                                           (2)[pic 7]

Первая производная уравнения (2)

[pic 8]

и соответственно вторая

[pic 9]

Далее подставляем выражения производных в уравнение осциллятора(1) получаем

                                       (3)[pic 10]

Из уравнений (2) и (3) получаем

,[pic 11]

откуда выводим решение уравнения осциллятора

                   (4)[pic 12]

Учитывая то, что

[pic 13]

решение (4) примет вид

                          (5)[pic 14]

где

[pic 15]

При отсутствии диссипации (γ = 0) возникает резонанс, из-за чего амплитуда неограниченно возрастает. Обратный эффект проявляется при диссипации за  счёт затухающего экспоненциального множителя, в котором амплитуда конечна.

Уравнение (5) является аналитическим решением системы, но на практике аналитическое решение может иметь принять вид очень сложной формулы. В таких случаях целесообразным найти решение численным методом.

К примеру, для решения уравнения гармонического осциллятора численным методом первым делом будет удобно привести её к виду системы уравнений первого порядка:

                                              (6)[pic 16]

так как методы численного интегрирования приводятся обычно для таких систем. Одним из наиболее простых и вместе с тем достаточно надежных алгоритмов является так называемый метод трапеций.

Метод трапеций

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка:

[pic 17]

Распишем её в интегральной форме:

[pic 18]

[pic 19]

                                             [pic 20]

Рис. 1. Метод трапеций

 В итоге мы получаем приближенную формулу метода трапеций:

[pic 21]

Практическая часть

При решении численным методом был использован язык программирования С++.

Первым делом при написании программы необходимо выделить основные переменные, которые нам потребуются в решении данного уравнения. Для лёгкости чтения программы, объявляем переменные, которые  соответствуют с аналитическим методом.

double dt; - шаг по времени;

int n = 2000; - количество разбиения;

double* t = new double[n]; - набор значений по времени;

double* x = new double[n]; - набор значений по положению;

double* v = new double[n]; - набор значений по скорости;

double gamma; - коэффициент трения;

double w0; - частота колебания гармонического осциллятора;

double A; - амплитуда колебания;

double w; - частота колебания внешней силы.

Далее создаём функцию с возвращающей переменной для вычисления правой части уравнения с учётом внешней силы: