Движение твёрдого тела, закрепленного в точке. Гироскопы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
ИМЕНИ Х.М.БЕРБЕКОВА
ИНСТИТУТ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ 
ФАКУЛЬТЕТ ФИЗИКИ

РЕФЕРАТ 
на тему: 
«Движение твёрдого тела, закрепленного в точке. Гироскопы»

Научный руководитель:

Доцент Таова Т.М

Выполнила:
студентка 1 Курса 
Хашукаева М. Р.

Нальчик, 2018

СОДЕРЖАНИЕ

Уравнения Эйлера ……………………………………………………………………..3

Свободные оси………………………………………………………………………….4

Гироскопы ……………………………………………………………………………...5

Прецессия свободного гироскопа …………………………………………………….6

Прецессия свободного гироскопа …………………………………………………….8

Вынужденная прецессия гироскопа. ………………………………………………..10

Нутации…………………………………………………………………….……….…11

Гироскопический маятник…………………………………………………………....11

Прецессия волчка……………………………………………………………………...12

Несвободный гироскоп……………………………………………………………….13

Применение гироскопов……………………………………………………………...14

Уравнения Эйлера

В общем случае движения вектор угловой скорости изменяет свое направление в пространстве и свою ориентировку относительно тела, то есть мгновенная ось вращения меняет свою ориентировку. Удобно рассматривать это движение в системе координат, жестко связанной с телом. Начало координат естественно поместить в точку закрепления тела. Она находится в покое. Получающиеся при этом уравнения движения называются уравнениями Эйлера.
Уравнение движения центра масс тела имеет вид

[pic 1],(1)
где [pic 2]– радиус-вектор центра масс тела, проведенный из точки его закрепления

Оси связанной с телом системы координат [pic 3] удобно направить по главным осям инерции. В этом случае тензор инерции сводится к трем своим главным значениям [pic 4] а момент импульса приобретает простой вид: [pic 5], [pic 6], [pic 7], причем [pic 8], [pic 9], [pic 10] –проекции угловой скорости на движущиеся вместе с телом оси координат. В уравнении моментов производная [pic 11] вычисляется относительно инерциальной системы координат. Необходимо определить эту величину относительно движущейся системы координат, жестко связанной с телом.
Пусть некоторый вектор [pic 12] задан компонентами относительно системы координат [pic 13]:

[pic 14],
где [pic 15]– единичные орты связанной с телом системы координат. С течением времени изменяются проекции [pic 16] на движущиеся оси координат и ориентировка осей координат относительно инерциальной системы отсчета. Имеем
[pic 17], (2)
Скорость точки вращающегося тела, радиус-вектор которой [pic 18], равна [pic 19]. Аналогично, следя за концом вектора [pic 20], проведенным из точки на оси вращения, находим [pic 21]. Такой же вид имеют производные от [pic 22] и [pic 23]. Следовательно,

[pic 24] 
Поэтому формула (2) может быть записана в виде
[pic 25],
где [pic 26] – производная от [pic 27], вычисленная в предположении, что оси [pic 28] неподвижны. Эта формула справедлива для любых векторов [pic 29]. Применяя ее к вектору [pic 30] в уравнении моментов, можно представить уравнение моментов следующим образом:
[pic 31]. (3)
Принимая во внимание, что [pic 32], [pic 33], [pic 34], уравнение (3) перепишем в проекциях на оси движущейся системы координат:
[pic 35],
[pic 36], (4)
[pic 37].
Подчеркнем еще раз, что все величины в этих уравнениях отнесены к движущимся осям координат, жестко связанных с телом, штрихи же не проставлены лишь для упрощения написания формул.