Частное и полное приращение функции

Частное и полное приращение функции

Если для каждой пары (x,y) значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение z, то говорят, что z является функцией двух переменных (x,y). Обозначение: z=f(x,y).

В отношении функции z=f(x,y) рассмотрим понятия общего (полного) и частного приращений функции.

Пусть дана функция z=f(x,y)двух независимых переменных (x,y).

Замечание 1

Так как переменные (x,y) являются независимыми, то одна из них может изменяться, а другая при этом сохранять постоянное значение.

Дадим переменной x приращение Δx, при этом сохраним значение переменной yнеизменным.

Тогда функция z=f(x,y) получит приращение, которое будет называться частным приращением функции z=f(x,y) по переменной x. Обозначение:

Аналогично дадим переменной y приращение Δy, при этом сохраним значение переменной x неизменным.

Тогда функция z=f(x,y) получит приращение, которое будет называться частным приращением функции z=f(x,y) по переменной y. Обозначение:

Если же аргументу x дать приращение Δx, а аргументу y - приращение Δy, то получается полное приращение заданной функции z=f(x,y). Обозначение:

Таким образом, имеем:

• Δxz=f(x+Δx,y)−f(x,y) - частное приращение функции z=f(x,y) по x;
• Δyz=f(x,y+Δy)−f(x,y) - частное приращение функции z=f(x,y) по y;
• Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y) - полное приращение функции z=f(x,y).

Пример 1

Записать частные и полное приращение функции

z=x+y.

Решение:

По определению частного приращения найдем:

Δxz=x+Δx+y - частное приращение функции z=f(x,y) по x;

Δyz=x+y+Δy - частное приращение функции z=f(x,y) по y.

По определению полного приращения найдем:

Δz=x+Δx+y+Δy - полное приращение функции z=f(x,y).

Пример 2

Вычислить частные и полное приращение функции z=xy в точке (1;2) при Δx=0,1;Δy=0,1.

Решение:

По определению частного приращения найдем:

Δxz=(x+Δx)⋅y - частное приращение функции z=f(x,y) по x

Δyz=x⋅(y+Δy) - частное приращение функции z=f(x,y) по y;

По определению полного приращения найдем:

Δz=(x+Δx)⋅(y+Δy) - полное приращение функции z=f(x,y).

Следовательно,

Δxz=(1+0,1)⋅2=2,2

Δyz=1⋅(2+0,1)=2,1

Δz=(1+0,1)⋅(2+0,1)=1,1⋅2,1=2,31.

Замечание 2

Полное приращение заданной функции z=f(x,y) не равно сумме ее частных приращений Δxz и Δyz. Математическая запись: Δz≠Δxz+Δyz.

Пример 3

Проверить утверждение замечания для функции

z=x+y.

Решение:

Δxz=x+Δx+y; Δyz=x+y+Δy; Δz=x+Δx+y+Δy (получены в примере 1)

Найдем сумму частных приращений заданной функции z=f(x,y)

Δxz+Δyz=x+Δx+y+(x+y+Δy)=2⋅(x+y)+Δx+Δy.

Так как

2⋅(x+y)+Δx+Δy≠x+Δx+y+Δy,

то

Δxz+Δyz≠Δz.

Определение 2

Если для каждой тройки (x,y,z) значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение w, то говорят, что w является функцией трех переменных (x,y,z) в данной области.

Обозначение: w=f(x,y,z).

Определение 3

Если для каждой совокупности (x,y,z,...,t) значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение w, то говорят, что w является функцией переменных (x,y,z,...,t) в данной области.

Обозначение: w=f(x,y,z,...,t).

Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные приращения по каждой из переменных:

• Δzw=f(x,y,z+Δz)−f(x,y,z) - частное приращение функции w=f(x,y,z,...,t) по z;
• ...
• Δtw=f(x,y,z,...,t+Δt)−f(x,y,z,...,t) - частное приращение функции w=f(x,y,z,...,t) по t.

Пример 4

Записать частные и полное приращение функции

w=(x+y)⋅z.

Решение:

По определению частного приращения найдем:

Δxw=((x+Δx)+y)⋅z - частное приращение функции w=f(x,y,z) по x

Δyw=(x+(y+Δy))⋅z - частное приращение функции w=f(x,y,z) по y;

Δzw=(x+y)⋅(z+Δz) - частное приращение функции w=f(x,y,z) по z;

По определению полного приращения найдем: